Loi de Malus

L'éponyme de la loi de Malus^[1],[2] est Étienne Louis Malus^[3],[4] (1775-1812) qui l'a découverte en 1809^[4].

Supposons qu'une onde plane polarisée rectilignement passe par un polariseur. On note θ l'angle que fait cette polarisation avec l'axe du polariseur avec ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ . L'onde sortante est alors polarisée selon l'axe du polariseur, mais elle est atténuée par un certain facteur : si l'on note ${\displaystyle I_{0}}$ et ${\displaystyle I}$ les intensités incidente et sortante, alors la loi de Malus s'écrit :

${\displaystyle I=I_{0}\cos ^{2}{(\theta )}}$.

Cette loi a quelques conséquences importantes :

• Si la polarisation de l'onde incidente est dans la même direction que l'axe du polariseur, alors toute l'intensité lumineuse est transmise (${\displaystyle \theta =0}$).
• Si la polarisation de l'onde incidente est orthogonale à l'axe du polariseur, alors il n'y a pas d'onde sortante (${\displaystyle \theta =90}$°). Dans ce cas, on dit que le polariseur est « croisé ».
• Si l'onde incidente n'est pas polarisée, c'est-à-dire qu'elle est constituée de toutes les polarisations possibles, alors en effectuant la moyenne de ${\displaystyle I}$, on obtient ${\displaystyle I=I_{0}/2}$ : la moitié de l'intensité passe. C'est ce que l'on observe en regardant une lampe à travers un polariseur.

Un polariseur a pour effet de projeter l'amplitude A₀ de l'onde qu'il reçoit sur son axe. Dans le cas d'une onde polarisée rectilignement, cette projection est proportionnelle au cosinus de l'angle θ défini plus haut. Ainsi, en notant A l'amplitude sortante, on a :

${\displaystyle A=A_{0}\cos {(\theta )}}$.

L'intensité lumineuse est, par définition, proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du module du champ électrique ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$ de l'onde considérée.

${\displaystyle I\propto |{\overrightarrow {E}}|.|{\overrightarrow {E}}|=>I_{0}\propto |{\overrightarrow {E_{0}}}^{2}|}$ avec ${\displaystyle |.|}$ signifiant "module de".

En élevant au carré l'expression précédente on obtient alors :

${\displaystyle I=I_{0}\cos ^{2}{(\theta )}=A_{0}^{2}\cos ^{2}(\theta )}$.

Dans le cas d'une onde non polarisée, tous les angles ${\displaystyle \theta }$ étant équiprobables, le théorème de la moyenne permet de démontrer ce théorème.

${\displaystyle I={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }cos^{2}(\theta )d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {1+cos(2\theta )}{2}}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{{\big (}1+cos(2\theta ){\big )}}d\theta }$

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}{\bigg [}\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi }+{\frac {1}{2\pi }}{\bigg [}{\frac {1}{2}}\cdot \sin(2\theta ){\bigg ]}_{0}^{\pi }={\frac {1[\pi ]}{2\pi }}+0={\frac {1}{2}}}$