Loi du χ²

En statistiques et en théorie des probabilités, la loi du $χ 2$ centrée (prononcé « khi carré » ou « khi-deux ») avec k degrés de liberté est la loi de la somme de carrés de k variables indépendantes suivant une loi normale centrée réduite.

Paramètres

k\in \mathbb {N} _{0}

degrés de liberté

Support

x\in [0,+\infty [\,

Densité de probabilité

{\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}{\rm {e}}^{-x/2}\,

où $\Gamma$ est la fonction gamma

Fonction de répartition

{\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,

où $\gamma$ est la fonction gamma incomplète

Faits en bref Paramètres, Support ...

Loi du $χ 2$
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$k\in \mathbb {N} _{0}$ degrés de liberté
Support	$x\in [0,+\infty [\,$
Densité de probabilité	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}{\rm {e}}^{-x/2}\,$ où $\Gamma$ est la fonction gamma
Fonction de répartition	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$ où $\gamma$ est la fonction gamma incomplète
Espérance	$k\,$
Médiane	$\approx k-2/3\,$
Mode	$k-2\,$ si $k\geq 2\,$
Variance	$2\,k\,$
Asymétrie	${\sqrt {8/k}}\,$
Kurtosis normalisé	${\frac {12}{k}}\,$
Entropie	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
Fonction génératrice des moments	$(1-2\,t)^{-k/2}$ pour $2\,t<1\,$
Fonction caractéristique	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$
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La loi du $χ 2$ est utilisée en inférence statistique et pour les tests statistiques notamment le test du χ².

La loi du χ² non centrée généralise la loi du $χ 2$ .

Définition et caractéristiques

Définition

Soient k variables aléatoires $X 1, ... , X k$ indépendantes suivant la loi normale centrée et réduite, c'est-à-dire la loi normale ${\mathcal {N}}(0,1)$ de moyenne 0 et d'écart-type 1. Alors par définition la variable $X$ définie par

X:=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}

suit une loi du $χ 2$ à k degrés de liberté. La loi de $X$ est notée $χ 2 (k)$ ^{[réf. nécessaire]} ou $χ 2 k$ .

Caractéristiques

La densité de probabilité de $X$ notée $f χ$ est :

f_{\chi }(x;k)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}{\rm {e}}^{-{\frac {x}{2}}}\,

pour tout x positif

où $Γ$ est la fonction gamma^[1].

Sa fonction de répartition est :

F_{\chi }(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}

où

\gamma (s,t)

est la fonction gamma incomplète.

Propriétés

Propriété des fonctions de densité en $x=k$

Pour tout degré de liberté $k$

f_{\chi _{k}}(k)=f_{\chi _{k+2}}(k)

Graphiquement parlant, la courbe $f_{\chi _{k}}$ croise la courbe $f_{\chi _{k+2}}$ en $x=k$ .

Démonstration

f_{\chi _{k+2}}(k)={\dfrac {k^{{(k+2)/2}-1}e^{-k/2}}{2^{(k+2)/2}.\Gamma {\left({\frac {k+2}{2}}\right)}}}={\dfrac {k^{k/2}e^{-k/2}}{2.2^{k/2}.{\dfrac {k}{2}}.\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}={\dfrac {k^{k/2-1}e^{-k/2}}{2^{k/2}.\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}=f_{\chi _{k}}(k)

Propriété du maximum des fonctions de densité

Pour tout degré de liberté $k$

{\displaystyle }f_{\chi _{k+2}}^{'}(k)=0

Graphiquement parlant, la courbe $f_{\chi _{k+2}}$ atteint son maximum en $x=k$ là où elle coupe la courbe $f_{\chi _{k}}$ .

Démonstration

Pour trouver le maximum des fonctions $f_{\chi _{k}}(x)$ , il faut trouver les racines de l'équation $f_{\chi _{k}}^{'}(x)=0$ .

Etant donné que la dérivée première de la fonction de densité est

f_{\chi _{k}}^{'}(x)={\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}.\left({\dfrac {k/2-1}{x}}-{\frac {1}{2}}\right)}{2^{k/2}.\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}

l'équation à résoudre pour trouver les racines est la suivante

{\dfrac {x^{(k+2)/2-1}.e^{-x/2}.\left({\dfrac {(k+2)/2-1}{x}}-{\frac {1}{2}}\right)}{2^{(k+2)/2}.\Gamma {\left({\frac {k+2}{2}}\right)}}}=0

En enlevant les facteurs non nulles du numérateur et du dénominateur de la fraction de gauche, on obtient

{\dfrac {(k+2)/2-1}{x}}-{\frac {1}{2}}=0

soit

{\dfrac {k/2}{x}}={\frac {1}{2}}

soit

x=k

Approximation

Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (k > 100^[2]), la loi d'une variable de $χ 2$ , somme de variables aléatoires indépendantes, peut être approchée par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.

D'autres fonctions en $χ 2$ peuvent converger plus rapidement vers la loi normale, notamment en ayant $X ~ χ 2 (k)$ et $k > 30$ :

$\sqrt 2 X$ – $\sqrt 2 k -1$ peut être approchée par une loi normale centrée réduite (approximation de Ronald Aylmer Fisher^[3]).
$3 \sqrt X / k$ peut être approchée par une loi normale de moyenne $1 - 2 / 9 k$ et de variance $2 / 9 k$ (approximation de Wilson et Hilferty, 1931^[4]).
$\sqrt X$ peut être approchée par ${\textstyle -1,37266+1,06807{\sqrt {k}}+(2,13161-0,0458{\sqrt {k}}){\sqrt {-\log _{10}(\alpha )}}}$ (approximation de Hoaglin^[5]).

Utilisation

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Cette loi est principalement utilisée dans le test du χ² basé sur la loi multinomiale pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à une loi de probabilité donnée. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).

Elle est également utilisée pour établir des intervalles de confiance concernant la variance ou l'écart-type de variables aléatoires gaussiennes.

Histoire

Cette loi a été décrite pour la première fois par le géodésiste et statisticien allemand Friedrich Robert Helmert dans des articles de 1875–6,^[6]^,^[7] où il a calculé la distribution d'échantillonnage de la variance de l'échantillon d'une population normale. Ainsi, en allemand, cela était traditionnellement connu sous le nom de Helmert'sche ("Helmertien") ou "distribution d'Helmert". Cet article a été traduit en français et est consultable sur WikiSource: À propos de la probabilité des sommes des puissances des erreurs d’observation.

Cette loi a été redécouverte indépendamment par le mathématicien anglais Karl Pearson dans le contexte de la qualité de l'ajustement, pour lequel il a développé son test du χ² de Pearson, publié en 1900, avec une table calculée de valeurs publiées dans (Elderton 1902), recueillies dans (Pearson 1914, Table XII). Le nom "chi-carré" dérive finalement de la sténographie de Pearson pour l'exposant dans une loi normale multidimensionnelle avec la lettre grecque Chi, écrivant $- 1 / 2 χ 2$ pour ce qui apparaîtrait dans la notation moderne comme $- 1 / 2 x T Σ -1 x'$ (Σ étant la matrice de covariance)^[8].

L'idée d'une famille de "distributions du chi carré", cependant, n'est pas due à Pearson mais est apparue comme un développement ultérieur dû à Ronald Aylmer Fisher dans les années 1920^[6].

Liens avec d'autres lois

Soient $X i$ des variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales d'espérance $μ i$ et de variance $σ i 2$ .

Davantage d’informations

,

...

Différentes lois du $χ$ et $χ 2$
Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
Loi du χ² non centrée	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
Loi inverse-χ²	$\left[\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}\right]^{-1}$
loi du χ	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
loi du χ non centrée	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

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Si X est une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et Y suit une loi du $χ 2$ à n degrés de liberté, X et Y étant indépendantes, alors ${\frac {X}{\sqrt {Y/n}}}$ suit une loi de Student à n degrés de liberté.

Si X suit une loi du $χ 2$ à n degrés de liberté, et Y une loi du $χ 2$ à m degrés de liberté, et si X et Y sont indépendantes, alors ${\frac {X/n}{Y/m}}$ suit une loi de Fisher à n et m degrés de liberté.

Table de valeurs des quantiles

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi du $χ 2$ pour différents degrés de liberté k. Pour chaque valeur de $α$ , le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de $χ 2$ à k degrés de liberté lui soit inférieur est de $1 - α$ . Par exemple, pour $1 - α = 0,95$ et k = 7, si $X$ suit une loi de $χ 2$ à 7 degrés de liberté, on lit dans la table que $\mathbb {P} (X\leqslant 14,07)=0,95.$

Davantage d’informations Degrés de liberté, Valeur du χ2 ...

Degrés de liberté	Valeur du $χ 2$
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.26
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
11	4.57	5.58	6.99	8.15	10.3	12.9	14.6	17.3	19.7	24.7	31.3
12	5.23	6.30	7.81	9.03	11.3	14.0	15.8	18.5	21.0	26.2	32.9
13	5.89	7.04	8.63	9.93	12.3	15.1	17.0	19.8	22.4	27.7	34.5
14	6.57	7.79	9.47	10.8	13.3	16.2	18.2	21.1	23.7	29.1	36.1
15	7.26	8.55	10.3	11.7	14.3	17.3	19.3	22.3	25.0	30.6	37.7
$1 - α$	0.05	0.1	0.2	0.3	0.5	0.7	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999

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Lien avec les méthodes bayésiennes

Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain (1974), qui constitue une somme des techniques bayésiennes dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur Myron Tribus montre que le $χ 2$ constitue un exemple de passage à la limite du psi-test (test de plausibilité) bayésien lorsque le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas nécessairement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.

L'ouvrage de référence de Jaynes en donne également une démonstration en page 287^[9].