Loi infiniment divisible

Pour n un entier non nul, une loi de probabilités ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ est dite n-divisible (ou n-stable) s'il existe n variables aléatoires ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$, iid et de même loi, telles que la variable ${\displaystyle X_{1}+...+X_{n}}$ suive la même loi ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Une loi est dite infiniment divisible si et seulement si elle est n-stable pour tout n > 0.

De manière équivalente, une loi de fonction caractéristique φ est infiniment divisible si et seulement si, pour tout n > 0, φⁿ est une fonction caractéristique.

Les lois normale, de Poisson, exponentielle, gamma, géométrique, binomiale négative, de Cauchy, du χ² non centrée, de Pareto, de Gumbel, de demi-Cauchy sont des lois infiniment divisibles.

Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.