Loi de Poisson

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète. Elle décrit le résultat d'un processus de comptage, par exemple le nombre d'occurrences d'un évènement par période de temps. Un exemple souvent donné dans un cadre pédagogique est le nombre de voitures passant un point particulier d'une route par minute écoulée. Elle s'applique lorsque les évènements sont indépendants les uns des autres, et est décrite par un seul paramètre, à savoir son espérance, c'est-à-dire le nombre moyen d'occurrences, noté, par convention, λ. La loi de Poisson est également pertinente pour décrire le nombre d'événements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes. Les processus répondant à l'ensemble de ces conditions sont appelés processus de Poisson.

Paramètres

\lambda \in {}]0,+\infty [

^{[note 1]}

Support

\mathbb {N}

Fonction de masse

{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }\!

Fonction de répartition

{\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!{\text{ pour }}k\geq 0

Faits en bref Paramètres, Support ...

Loi de Poisson

Fonction de masse Les fonctions de masse ne sont définies que pour les entiers $k$ .
Fonction de répartition Les fonctions de répartition sont discontinues en chaque entier naturel.

Paramètres	$\lambda \in {}]0,+\infty [$ ^{[note 1]}
Support	$\mathbb {N}$
Fonction de masse	${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }\!$
Fonction de répartition	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!{\text{ pour }}k\geq 0$
Espérance	$\lambda \,$
Médiane	${\text{environ }}\lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Mode	$\lfloor \lambda \rfloor$ si $\lambda$ est un réel non entier, $\lambda$ et $\lambda -1$ si $\lambda$ est un nombre entier
Variance	$\lambda \,$
Asymétrie	$\lambda ^{-1/2}\,$
Kurtosis normalisé	$\lambda ^{-1}\,$
Entropie	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}.$ Pour $\lambda$ grand : $\scriptstyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi \mathrm {e} \lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$
Fonction génératrice des moments	$\exp(\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1))$
Fonction caractéristique	$\exp(\lambda (\mathrm {e} ^{it}-1))\,$
Fonction génératrice des probabilités	$\exp(\lambda (t-1))$
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Elle doit son nom à Siméon Denis Poisson, qui l'a introduite en 1837. Elle trouve de nombreuses applications, qui vont de la physique (par exemple le nombre d'évènements de désintégration dans un échantillon radioactif) aux applications en économie ou en biologie.

Généralités

Origine historique

La loi de Poisson a été introduite en 1837 par le mathématicien français Siméon Denis Poisson^[1], dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile^[2]. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées « arrivées ») qui prennent place pendant un laps de temps donné^[3].

Exemple intuitif

La loi de Poisson s'applique à un décompte d'évènements par intervalle de temps (ou parfois par intervalle de longueur, etc.). À titre d'exemple, on peut considérer le nombre de voitures franchissant un point donné sur une route par période de dix minutes. Le paramètre λ est le nombre moyen attendu. Pour que la loi soit applicable, on considère que les évènements (les passages des voitures) sont indépendants. La loi ne s'appliquera donc plus si des voitures roulent ensemble, en convoi, ou s'il y a un embouteillage : à ce moment les voitures interagissent et leur passage n'est plus indépendant^[4].

Le nombre de voitures qui passent sur le Golden Gate dans un laps de temps donné peut être modélisé par une loi de Poisson.
64 grains de riz ont été jetés sur une grille de 64 cases. Le nombre de grains par case suit approximativement une loi de Poisson de paramètre λ=1.

Fonction de masse

Si le nombre moyen d'occurrences dans un intervalle de temps fixé est $λ$ , alors la probabilité qu'il existe exactement $k$ occurrences ( $k$ étant un entier naturel, $k = 0, 1, 2\dots$ ) est^[1] :

p(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }

où :

$e$ est le nombre d'Euler ( $e \approx 2,718$ )^[1] ;
$k!$ est la factorielle de $k$ . Il correspond à la valeur étudiée ;
$λ$ est un nombre réel strictement positif ( $λ > 0$ ^{[note 1]}). Il correspond à la moyenne théorique de l'échantillon et à sa variance^[1].

On dit alors que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $λ$ , noté $X\sim \operatorname {\mathcal {P}} \left(\lambda \right)$ ^[5].

Par exemple, si un certain type d'événements se produit en moyenne 2,1 fois par an, pour étudier le nombre d'événements se produisant l'an prochain, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre $λ = 2,1$ ^[1].

Obtention de l'expression de p(k)

Les hypothèses de départ sont qu'il y a en moyenne $\lambda$ évènements dans une période de temps $T = 1$ (l'unité de temps est arbitraire, on peut donc ramener $T$ à 1 par commodité), et que les évènements sont indépendants les uns des autres. À partir de ces hypothèses, il est possible de démontrer que la fonction de masse est celle donnée précédemment.

À partir de la loi binomiale

On peut trouver l'écriture de la loi de Poisson à partir de la loi binomiale. On divise la période $1$ en $n$ « petites » périodes égales $(n>\lambda )$ . En première approximation, la probabilité $p_{n}$ d'avoir une occurrence de l'évènement pendant la période $1/n$ vaut $\lambda /n$ . On peut alors approximer $p(k)$ par une loi binomiale : c'est la probabilité d'obtenir $k$ succès sur les $n$ essais.

Calcul de la fonction de masse à partir de la loi binomiale

$\mathrm {B} _{n}(k)={n \choose k}\times p_{n}^{k}\times (1-p_{n})^{n-k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\times \left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}$

Ce n'est cependant qu'une approximation : en effet, il existe une probabilité non nulle que deux occurrences de l'évènement surviennent pendant la même période $1/n$ , ce qui en l'état n'est pas pris en compte par le calcul. Néanmoins, si on fait tendre $n$ vers l'infini, cette probabilité tend vers 0. La loi de Poisson se retrouve donc comme étant la limite du calcul ci-dessus pour $n$ très grand^[6].

Pour $n$ très grand, ${\frac {n!}{(n-k)!}}$ devient équivalent à $n^{k}$ . On a donc, en plaçant en facteur ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}\times \left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}{\underset {\overset {n\rightarrow +\infty }{}}{\sim }}{\frac {n^{k}}{k!}}\times {\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ :

$\mathrm {B} _{n}(k){\underset {\overset {n\rightarrow +\infty }{}}{\sim }}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\times \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}$

On fait appel à l'une des définitions possibles de la fonction exponentielle :

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=\mathrm {e} ^{-\lambda }

Par ailleurs, $k$ étant constant :

\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}=1

On retrouve donc l'expression de la loi de Poisson^[6] :

$\lim _{n\to \infty }\mathrm {B} _{n}(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }$

Par récurrence, comme solution d'une équation différentielle

La calcul des valeurs peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle $[0; T]$ les fonctions $F k (t)$ , qui donnent la probabilité que l'événement se produise $k$ fois sur l'intervalle de temps $[0; t]$ . En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes^[7].

Calcul de la fonction de masse par récurrence^[8]

Dans cette démarche, on note $P(k,t)$ la probabilité qu'il y ait $k$ occurrences de l'évènement pendant la période $[0,t]$ . On note aussi que la probabilité étant constante dans le temps, le point de départ noté $t = 0$ est arbitraire, ainsi la probabilité d'obtenir $n$ occurrences dans la période $[t_{0},t_{0}+\Delta t]$ ne dépend pas de $t_{0}$ , elle vaut $P(k,\Delta t).$

On s'intéresse à $P(k,t+\Delta t)$ . Par indépendance, on a $P(k,t+\Delta t)=P(k-1,t)\times P(1,\Delta t)+P(k-2,t)\times P(2,\Delta t)+...+P(0,t)\times P(k,\Delta t)$ (on additionne toutes les combinaisons arrivant au total $k$ ). En prenant une valeur suffisamment petite de $\Delta t$ , la probabilité d'avoir deux occurrences (ou plus) de l'évènement dans l'intervalle de temps supplémentaire devient négligeable. Le traitement de l'intervalle $\Delta t$ se simplifie : $P(0,\Delta t)=1-\lambda$ et $P(0,\Delta t)=\lambda .$

La relation se simplifie en $P(k,t+\Delta t)=P(k,t)\times P(0,\Delta t)+P(k-1,t)\times P(1,\Delta t)=P(k,t)\times (1-\lambda )+P(k-1,t)\times \lambda .$

Ce qui permet d'obtenir une équation différentielle : ${\frac {dP(k,t)}{dt}}=-\lambda P(k,t)+\lambda P(k-1,t).$

Pour le cas $n = 0$ , on obtient ${\frac {dP(0,t)}{dt}}=\lambda P(0,t)$ , équation différentielle de premier ordre dont la solution est $\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }$ . Une fois connue l'expression pour $k=0$ , on en déduit l'expression en $k=1$ , et ainsi de suite. Ce processus itératif permet de retrouver l'expression générale de la loi de Poisson pour toute valeur de $k$ .

Propriétés

Dans toute cette section, $X$ est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $λ$ .

Moments et fonctions génératrices

Moments ordinaires

Le premier moment ordinaire, ou espérance, d'une loi de Poisson se calcule par la série entière de l'exponentielle^[9]^,^[10] :

{\begin{alignedat}{2}\mathbb {E} [X]&=\sum _{k=0}^{+\infty }kP(X=k)\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+\infty }{\lambda ^{k} \over (k-1)!}\\&=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+\infty }{\lambda ^{k-1} \over (k-1)!}\\\\&=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{\lambda }\\&=\lambda \\\end{alignedat}}

Les trois moments ordinaires suivants de la loi de Poisson sont donnés par^[11] :

{\begin{array}{lll}\mathbb {E} [X^{2}]&=&\lambda (1+\lambda )\\\mathbb {E} [X^{3}]&=&\lambda (1+3\lambda +\lambda ^{2})\\\mathbb {E} [X^{4}]&=&\lambda (1+7\lambda +6\lambda ^{2}+\lambda ^{3})\end{array}}

On en déduit la variance et l'écart type^[11] :

{\begin{array}{lll}V(X)&=&\lambda \\\sigma (X)&=&{\sqrt {\lambda }}\end{array}}

Plus généralement, le $n$ -ième moment ordinaire d'une loi de Poisson de paramètre $λ$ est $\mathbb {E} (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\lambda ^{k}$ où $S (n, k)$ est le nombre de Stirling de seconde espèce de paramètres $n$ et $k$ .

En particulier lorsque $λ = 1$ , le $n$ -ième moment de $X$ correspond au $n$ -ième nombre de Bell. En effet cela est une conséquence de la formule de Dobiński.

La borne suivante majore les moments d'une loi de Poisson^[12] : $\mathbb {E} [X^{k}]\leq \left[{\frac {k}{\ln \left(k/\lambda +1\right)}}\right]^{k}\leq \lambda ^{k}\mathrm {e} ^{\frac {k^{2}}{2\lambda }}$ Ils sont aussi reliés par la relation de récurrence^[13] : $\mathbb {E} [X^{n}]=\lambda \mathbb {E} [X^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [X^{n-1}]}{\partial \lambda }}$

Moments centrés

Les quatre premiers moments centrés d'une loi de Poisson sont donnés par^[11]^,^[13] :

{\begin{array}{lll}\mathbb {E} [(X-\lambda )^{2}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{3}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{4}]&=&\lambda (1+3\lambda )\\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{5}]&=&\lambda (1+10\lambda )\end{array}}

On en déduit l'asymétrie et le kurtosis normalisé :

{\begin{array}{lll}\gamma _{1}(X)&=&1/{\sqrt {\lambda }}\\\gamma _{2}(X)&=&1/\lambda \end{array}}

On a la relation de récurrence^[13] : $\mathbb {E} [(X-\lambda )^{n+1}]=n\lambda \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n}]}{\partial \lambda }}$

Moments factoriels

Le $r$ -ième moment factoriel d'une loi de Poisson est

$\mathbb {E} ((X)_{r})=\lambda ^{r}$

où $(x)_{r}=x(x-1)\dots (x-r+1)$ désigne la factorielle décroissante.

Fonction génératrice des probabilités

La fonction génératrice des probabilités d'une loi de Poisson est^[9] :

$G_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (t^{X})=\mathrm {e} ^{\lambda (t-1)}.$

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments d'une loi de Poisson est^[14] :

M_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1)}.

On reconnaît la série génératrice des polynômes de Touchard : autrement dit, le $n$ -ième moment $\mathbb {E} (X^{n})$ est $T_{n}(\lambda )$ .

Démonstration

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de poisson de paramètre $λ$ . On rappelle que par définition $\mathbb {P} (X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ .

Espérance

{\begin{aligned}\mathbb {E} (X)&=\sum _{k=1}^{\infty }k\,\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=1}^{\infty }k\,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{\lambda })\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\mathrm {e} ^{\lambda }\\&=\lambda .\end{aligned}}

Variance

{\begin{aligned}V(X)&=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}&\\&=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}\,\mathbb {P} (X=k)-\lambda ^{2}&\\&=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {d}{d\lambda }}{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}-\lambda ^{2}&\qquad ({\text{la série entière ayant un rayon de convergence infini,}}\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}-\lambda ^{2}&\qquad {\text{on peut inverser la sommation et la dérivation}})\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\left[\lambda \sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right]-\lambda ^{2}&\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{\lambda })\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}[\lambda \,\mathrm {e} ^{\lambda }]-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }(\lambda +1)\,\mathrm {e} ^{\lambda }-\lambda ^{2}&\\&=\lambda \,(\lambda +1)-\lambda ^{2}&\\&=\lambda .&\end{aligned}}

Fonction génératrice

On rappelle que la fonction génératrice de $X$ est définie par $G_{X}(t)=\mathbb {E} (t^{X})$ . Ainsi on obtient :

{\begin{aligned}\mathbb {E} (t^{X})&=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{t\lambda })\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{t\lambda }\\&=\mathrm {e} ^{\lambda (t-1)}.\end{aligned}}

Fonction génératrice des moments

On rappelle que la fonction génératrice des moments de $X$ est définie par $M_{X}(t)=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{tX})$ . Ainsi on obtient :

{\begin{aligned}M_{X}(t)&=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {e} ^{tk}\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {e} ^{tk}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\lambda \,\mathrm {e} ^{t})^{k}}{k!}}\qquad ({\text{on reconnaît le développement en série entière de }}\mathrm {e} ^{x}{\text{ évalué en }}x=\lambda \mathrm {e} ^{t})\\&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{\lambda \,\mathrm {e} ^{t}}\\&=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1)}.\end{aligned}}

Moments factoriels

{\begin{aligned}\mathbb {E} ((X)_{r})&=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=r}^{\infty }{\frac {k!}{(k-r)!}}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\lambda ^{r}\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=r}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-r}}{(k-r)!}}\\&=\lambda ^{r}\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\lambda ^{r}.\end{aligned}}

Moments

Les nombres de Stirling de seconde espèce vérifient la relation

X^{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)(X)_{k}

.

Ainsi, en utilisant la formule des moments factoriels d'une loi de Poisson ainsi que la linéarité de l'espérance on conclut que

\mathbb {E} (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\lambda ^{k}

.

Diagramme en bâtons

Comme toute loi de probabilité discrète, la fonction de masse d'une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les fonctions de masse (bleu) et les fonctions de répartition (rouge) des lois de Poisson de paramètres $λ$ = 1 ; 2 ; 3,4 et 6.

Lorsque le paramètre $λ$ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est proche de l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à $λ$ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale (pour lesquelles des tables de valeurs étaient largement disponibles) en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests^[15].

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si les variables ${X i} i =1,..., n$ sont indépendantes et suivent une loi de Poisson de paramètres respectifs $λ i$ , alors leur somme $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre la somme des $λ i$ ^[9] :

Y=\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim \operatorname {\mathcal {P}} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)

Démonstration

On montre le cas $n = 2$ , les cas supérieurs se déduisent par récurrence.

On rappelle que $\mathbb {P} (X_{1}=n)={\frac {{\lambda _{1}}^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{1}}{\text{ et }}\mathbb {P} (X_{2}=n)={\frac {{\lambda _{2}}^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-{\lambda _{2}}}.$ On a alors ${\begin{aligned}\mathbb {P} (X+Y=n)&=\sum _{k=0}^{n}\mathbb {P} (\{X_{1}=k\}\cap \{X_{2}=n-k\})=\sum _{k=0}^{n}\mathbb {P} (X_{1}=k)\mathbb {P} (X_{2}=n-k)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {\lambda _{1}^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{1}}\cdot {\frac {\lambda _{2}^{n-k}}{(n-k)!}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{2}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda _{1}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{2}}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\lambda _{1}^{k}\lambda _{2}^{n-k}={\frac {\mathrm {e} ^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{n!}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{n}\end{aligned}}$

L'indépendance a été utilisée à la 2^e égalité. La dernière égalité est obtenue via la formule du binôme de Newton.

Bornes de queue

Un argument de type borne de Chernoff permet de déduire des bornes de queue suivantes, c'est-à-dire de valeurs majorant la probabilité que $X$ s'éloigne de l'espérance au delà d'un $x$ fixé^[16] :

\mathbb {P} (X\geq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}

pour tout

x > λ

et

\mathbb {P} (X\leq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}

pour tout

x < λ

.

Ces bornes peuvent se réécrire de la manière suivante^[17]

\mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}

pour tout

x > 0

et

\mathbb {P} (X\leq -x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left(-{\frac {x}{\lambda }}\right)}

pour tout

λ > x > 0

où $h(u):=2{\frac {(1+u)\ln(1+u)-u}{u^{2}}}$ pour tout $u\geq -1$ . Ces dernières bornes impliquent en particulier la borne suivante^[17] (qui est plus faible mais plus agréable à manipuler)

\mathbb {P} (|X-\lambda |\geq x)\leq 2\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2(\lambda +x)}}}

.

La borne supérieure donnée par Chernoff peut être améliorée d'un facteur 2 au moins^[18]

\mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}{\max \left\{2,{\sqrt {{\frac {2\pi x^{2}}{\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}\right\}}}

pour tout

x > 0

.

Il est à noter que la fonction $h$ est liée à la divergence de Kullback-Leibler entre une loi de Poisson de paramètre $x + λ$ et une loi de Poisson de paramètre $λ$ . En effet on a la relation

D_{KL}(x+\lambda ||\lambda )=(x+\lambda )\ln \left({\frac {x}{\lambda }}+1\right)-x={\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right).

Simulation

Un algorithme simple pour simuler la loi de Poisson consiste à utiliser le résultat suivant :

Théorème — Soit $(E i) i \geq 1$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre $λ$ . On pose $S 1 = E 1$ et pour $n \geq 2$ , $S n = E 1 + ... + E n$ . On a alors :

\forall n\geqslant 1,\ \mathbb {P} (S_{n}\leqslant 1<S_{n+1})={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }.

La méthode de la transformée inverse permet de donner une façon simple de générer un tirage aléatoire suivant une loi exponentielle :

Si

U

suit une loi uniforme sur

[0; 1]

, alors

E = - 1 / λ ln(U)

suit une loi exponentielle de paramètre

λ

.

En générant les $E_{i}$ par l'intermédiaire de variables aléatoires $U_{i}\sim {\mathcal {U}}[0,1]$ , On a ainsi ${\textstyle S_{n}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \left(\prod _{i=1}^{n}U_{i}\right)}$ et, en notant ${\textstyle P_{n}:=\prod _{i=1}^{n}U_{i},n\geq 1}$ : ${\textstyle S_{n}\leq 1<S_{n+1}\Leftrightarrow P_{n}\geq \mathrm {e} ^{-\lambda }>P_{n+1}\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}}$

L'algorithme peut ainsi se simplifier en :

$k \leftarrow 0$ , $p \leftarrow 1$
tant que p > e^–λ
- on tire $u$ selon un tirage aléatoire uniforme sur $[0; 1]$
- $p \leftarrow p \times u$
- $k \leftarrow k +1$
on renvoie $k - 1$

Application à des données empiriques

Test de Poisson

Une propriété fondamentale de la loi de Poisson est que sa moyenne est égale à sa variance. Ainsi, pour tester la conformité d'une série de données à la loi de Poisson, on calcule le rapport suivant, qui revient à faire le rapport variance/moyenne multiplié par N :

$D=\sum _{i=1}^{N}{\frac {{(X_{i}-{\bar {X}})}^{2}}{\bar {X}}}.$

Sous l'hypothèse nulle, qui affirme que l'échantillon est tiré d'une loi de Poisson, D est proche de N : il suit une loi du χ² à N - 1 degrés de libertés^[19]. Ce test permet de distinguer la loi de Poisson de lois de comptage de plus petite variance, comme la loi binomiale, ou de plus grande variance, comme la loi binomiale négative.

Estimation du paramètre $λ$

L'estimateur par maximum de vraisemblance du paramètre $λ$ d'un échantillon issu d'une loi de Poisson est la moyenne empirique. C'est un estimateur convergent, sans biais, efficace, complet, exhaustif^[20].

Régression de Poisson

Article détaillé : régression de Poisson.

La régression de Poisson est une démarche qui s'applique à une série de mesure empiriques. On dispose d'un ensemble de mesures, caractérisées chacun par une donnée de comptage et par la valeur d'une variable explicative comme, à titre d'exemple, une température (ou de plusieurs variables explicatives). Dans l'hypothèse où le comptage des évènements suit une loi de Poisson, la régression de Poisson détermine son paramètre lambda, comme fonction des variables explicatives^[21].

Lien avec d'autres lois de probabilités

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs $λ$ et $μ$ , alors $X - Y$ est une variable aléatoire qui suit une loi de Skellam de paramètres $(λ, μ)$ ^[22].
Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres $λ$ et $μ$ , alors la loi conditionnelle de $X$ sachant $X + Y$ est une loi binomiale.
Pour de grandes valeurs de $λ$ , on peut approcher la loi de Poisson par la loi normale de moyenne $λ$ et de variance $λ$ .

Le décompte des événements rares se fait souvent au travers d'une somme de variables de Bernoulli, la rareté des événements se traduisant par le fait que les paramètres de ces variables de Bernoulli sont petits (ainsi, la probabilité que chaque événement survienne est faible). Le lien entre la loi de Poisson et les événements rares peut alors s'énoncer ainsi :

Paradigme de Poisson — La somme $S_{n}$ d'un grand nombre de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $\mathbb {E} [S_{n}].$

L'inégalité de Le Cam précise le paradigme de Poisson : soit $X_{1,n},X_{2,n},\dots ,X_{a_{n},n}\$ un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs $p k, n$ . On note

$S_{n}=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,X_{k,n}\quad {\text{et}}\quad \lambda _{n}\ =\ \mathbb {E} [S_{n}]=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}.\$

Inégalité de Le Cam^[23] — Pour tout ensemble

A

d'entiers naturels,

\left|\mathbb {P} \left(S_{n}\in A\right)-\sum _{k\in A}\,{\frac {\lambda _{n}^{k}\,\mathrm {e} ^{-\lambda _{n}}}{k!}}\right|\ \leq \ \sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}.

En particulier, si les deux conditions suivantes sont réunies :

$\lim _{n}\lambda _{n}\,=\,\lambda >0,\$
$\lim _{n}\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}^{2}\,=\,0,\$

alors $S n$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre λ.

Dans l'énoncé du paradigme de Poisson, on fait deux hypothèses (vagues) sur les termes d'une somme $S n$ de variables de Bernoulli :

les paramètres des variables de Bernoulli sont petits ; or les deux conditions ci-dessus entraînent que

$\lim _{n}\,\left(\max _{1\leq k\leq a_{n}}\,p_{k,n}\right)\,=\,0,\$ ce qui reformule l'hypothèse « les paramètres des variables de Bernoulli sont petits » de manière plus précise ;

il y a un grand nombre de termes ; or les deux conditions ci-dessus entrainent que le nombre de termes tend vers l'infini :

$\lim _{n}a_{n}\,=\,+\infty .\$

Remarques :

Ce paradigme reste pertinent, dans certaines conditions, si l'on relaxe l'hypothèse d'indépendance^[24].
- Un exemple frappant est le nombre de points fixes d'une permutation tirée au hasard.
- Un autre exemple est le nombre de points isolés du graphe aléatoire, dont la convergence vers la loi de Poisson a permis à Erdös et Rényi de démontrer, en 1960, le théorème double-exponentiel.
Le cas particulier $a n = n, p k,n = λ/ n, λ n = λ$ , de l'inégalité de Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi binomiale de paramètres $n$ et $λ/ n$ vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .

Domaines d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz). Mais, depuis la fin du XX^e siècle, son champ d'application s'est considérablement élargi^[25].

En sciences physiques

La loi de Poisson est utilisée pour prédire la fréquence des évènements de désintégration radioactive d'un isotope instable, par exemple dans le contexte de la médecine nucléaire. Elle présente des limites dans le cas d'isotopes à courte durée de vie, mais constitue une excellente approximation dans presque tous les cas pratiques^[26].

Dans les télécommunications

On l'utilise dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné)^[27], le contrôle de qualité statistique (nombre de défauts en maîtrise statistique des procédés)^[28].

En sciences naturelles

En biologie, la loi de Poisson est utilisée pour prédire l’occurrence de mutations génétiques dans l'expérience de Luria et Delbrück^[29], ou le nombre de potentiels d'actions émis par un neurone en neurosciences.

La loi de Poisson a longtemps été utilisée pour prédire l’occurrence des séismes mais elle n'est en réalité pas toujours applicable^[30].

En finances et commerce

Elle est utilisée pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit, ou pour le yield management des compagnies aériennes^[31].

Autres domaines

La loi de Poisson est également utilisable dans le cadre sportif. Elle peut être utilisée afin d'effectuer des prédictions statistiques sur le nombre de buts inscrits lors d'un match. Les probabilités issues de ce modèle permettent aux bookmakers de définir leurs cotes^[32].

En littérature

Dans le roman de Thomas Pynchon L'Arc-en-ciel de la gravité, un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V2 sur la ville de Londres durant la Seconde Guerre mondiale^[33].

Dans le roman Jurassic Park de Michael Crichton, le mathématicien Ian Malcolm utilise la loi de Poisson pour modéliser la démographie d'un groupe de dinosaures et ainsi démontrer qu'il y a une anomalie dans le contrôle des naissances dans le parc^[34].

Notes et références

Notes

[1]
Avec les conventions habituelles $0! = 1$ et $00 = 1$ , la définition de la loi de Poisson s'étend à $λ = 0$ : on trouve alors $p (0) = 1$ et, dès que $k > 0$ , $p (k) = 0$ . Ainsi une variable aléatoire nulle presque sûrement peut être vue comme suivant la loi de Poisson de paramètre 0. Cette convention est cohérente avec les propriétés essentielles de la loi de Poisson de paramètre strictement positif. Elle est commode, voire indispensable, par exemple lors de l'étude des processus ponctuels de Poisson.

Références

[1]
(en) Therese Donovan et Ruth Mickey, Bayesian Statistics for Beginners : a step-by-step approach, Oxford University Press, 2019 (ISBN 9780191876820, lire en ligne ), p. 151-153.
[2]
Siméon-Denis Poisson, Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile ; précédées des Règles générales du calcul des probabilités, 1837 (lire en ligne sur Gallica), passage 81, p. 205.
[3]
(en) Andrew I. Dale, A History of Inverse Probability: From Thomas Bayes to Karl Pearson, Springer New York, coll. « Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences Ser », 1999 (ISBN 978-1-4419-8652-8), p. 572.
[4]
Christophe Fiszka et Adrien Sirieys, Maths appliquées - Info - ECG-1: Cours détaillé, méthodes et exercices corrigés, Editions Ellipses, 11 octobre 2022 (ISBN 978-2-340-07432-3, lire en ligne), p. 597.
[5]
Céline Chevalier, « Lois de probabilité usuelles (rappels) » [PDF].
[6]
Éric Parent et Jacques Bernier, Le raisonnement bayésien: modélisation et interférence, Springer, coll. « Collection Statistique et probabilités appliquées », 2007 (ISBN 978-2-287-33906-6), p. 76.
[7]
Voir par exemple, Michel Henry, Autour de la modélisation en probabilités, Presses universitaires de Franche-Comté, 2001 (présentation en ligne), p. 229-231 ou encore ces notes de cours.
[8]
« Notes de cours, ETS Montréal » [archive du 18 novembre 2024], sur cours.etsmtl.ca (consulté le 29 janvier 2026).
[9]
Jean-Pierre Lecoutre, Statistique et probabilités, Dunod, 2023, 7^e éd. (ISBN 978-2-10-078854-5, lire en ligne), chap. 3 (« Lois usuelles »).
[10]
(en) John Gubner, Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge University Press, 2006 (lire en ligne ), p. 82.
[11]
(en) Eric W. Weisstein, « Poisson Distribution », sur mathworld.wolfram.com.
[12]
(en) D Ahle Thomas, « Sharp and Simple Bounds for the raw Moments of the Binomial and Poisson Distributions », 2021..
[13]
(en) Norman L Johnson, Adrienne W Kemp et Samuel Kotz, Univariate Discrete Distributions, Wiley, 2005, 3^e éd. (ISBN 978-0-471-27246-5, lire en ligne), p. 162.
[14]
Quentin Berger et Shen Lin, « Introduction aux probabilités » [PDF], sur université Sorbonne-Paris-Nord, p. 103.
[15]
Dominique Foata et Jacques Franchi, Calcul des probabilités - 3e éd: Cours, exercices et problèmes corrigés, Dunod, 29 août 2022 (ISBN 978-2-10-084980-2, lire en ligne), p. 242.
[16]
(en) Michael Mitzenmacher et Eli Upfal, Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis, Cambridge UK, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 978-0-521-83540-4, lire en ligne), p. 97.
[17]
(en) « A short note on Poisson tail bounds ».
[18]
(en) Michael Short, « Improved Inequalities for the Poisson and Binomial Distribution and Upper Tail Quantile Functions », International Scholarly Research Notices, vol. 2013,‎ 2013 (DOI https://doi.org/10.1155/2013/412958, lire en ligne).
[19]
« POISSON DISPERSION TEST », sur itl.nist.gov (consulté le 2 mars 2026).
[20]
Christophe Fiszka, Maths approfondies - Info - ECG-2: Cours détaillé, méthodes et exercices corrigés, Editions Ellipses, 16 juillet 2024 (ISBN 978-2-340-09564-9, lire en ligne), p. 550.
[21]
Jean-Jacques Droesbeke, Michel Lejeune et Gilbert Saporta, Modèles statistiques données qualitatives, Editions OPHRYS (ISBN 978-2-7108-1126-8, lire en ligne).
[22]
Meunier Pierre, Probabilités Discrètes. Cours Et Exercices, Éditions Cépaduès, 12 février 2015 (ISBN 978-2-36493-173-2, lire en ligne).
[23]
(en) L. Le Cam, « An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution », Pacific Journal of Mathematics, vol. 10, n^o 4,‎ 1960, p. 1181–1197 (lire en ligne, consulté le 13 mai 2009).
[24]
(en) A. D. Barbour, L. Holst et S. Janson, Poisson approximation, Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, 1992, 277 p. (ISBN 0-19-852235-5).
[25]
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[26]
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[27]
(en) T. C. Brown et P. K. Pollett, « Poisson approximations for telecommunications networks », The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics, vol. 32, n^o 3,‎ janvier 1991, p. 348–364 (ISSN 0334-2700 et 1839-4078, DOI 10.1017/S0334270000006913, lire en ligne, consulté le 2 février 2025).
[28]
(en) Arkadiusz Sitek et Anna M. Celler, « Limitations of Poisson statistics in describing radioactive decay », Physica Medica, vol. 31, n^o 8,‎ 1^er décembre 2015, p. 1105–1107 (ISSN 1120-1797, DOI 10.1016/j.ejmp.2015.08.015, lire en ligne, consulté le 2 février 2025).
[29]
(en) Philip M Meneely, « Pick Your Poisson: An Educational Primer for Luria and Delbrück’s Classic Paper », Genetics, vol. 202, n^o 2,‎ 1^er février 2016, p. 371–375 (ISSN 1943-2631, PMID 26869481, PMCID PMC4766000, DOI 10.1534/genetics.115.184564, lire en ligne, consulté le 2 février 2025).
[30]
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[31]
(en) Abhijit Gosavi, Emrah Ozkaya et Aykut F. Kahraman, « Simulation optimization for revenue management of airlines with cancellations and overbooking », OR Spectrum, vol. 29, n^o 1,‎ 24 octobre 2006, p. 21–38 (ISSN 0171-6468 et 1436-6304, DOI 10.1007/s00291-005-0018-z, lire en ligne, consulté le 2 février 2025).
[32]
(en) Michael Cain, David Law et David Peel, « The Favourite‐Longshot Bias and Market Efficiency in UK Football betting », Scottish Journal of Political Economy, vol. 47, n^o 1,‎ février 2000, p. 25–36 (ISSN 0036-9292 et 1467-9485, DOI 10.1111/1467-9485.00151, lire en ligne, consulté le 2 février 2025).
[33]
(en) Arkady Plotnitsky, « Demons of Chance, Angels of Probability: Thomas Pynchon’s Novels and the Philosophy of Chance and Probability », Transatlantica, n^o 1,‎ 1^er décembre 2020 (ISSN 1765-2766, DOI 10.4000/transatlantica.15498, lire en ligne, consulté le 26 janvier 2026).
[34]
« MathFiction: Jurassic Park (Michael Crichton) », sur kasmana.people.charleston.edu (consulté le 26 janvier 2026).

Généralités

Origine historique

Exemple intuitif

Fonction de masse

Obtention de l'expression de p(k)

À partir de la loi binomiale

Par récurrence, comme solution d'une équation différentielle

Propriétés

Moments et fonctions génératrices

Moments ordinaires

Moments centrés

Moments factoriels

Fonction génératrice des probabilités

Fonction génératrice des moments

Diagramme en bâtons

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Bornes de queue

Simulation

Application à des données empiriques

Test de Poisson

Estimation du paramètre $λ$

Régression de Poisson

Lien avec d'autres lois de probabilités

Domaines d'application

En sciences physiques

Dans les télécommunications

En sciences naturelles

En finances et commerce

Autres domaines

En littérature

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Articles connexes

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Fonction génératrice des probabilités

Fonction génératrice des moments

Diagramme en bâtons

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Bornes de queue

Test de Poisson

Estimation du paramètre λ

Régression de Poisson

En sciences physiques

Dans les télécommunications

En sciences naturelles

En finances et commerce

Autres domaines

Notes

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