Loto

Origines

L'invention du jeu de loto est souvent attribuée à l'Italien Benedetto Gentille. Ce dernier aurait tout simplement transformé en jeu le mode de renouvellement des membres du Conseil municipal de sa ville de Gênes. C'est François I^er qui l'aurait importé en France à son retour de la campagne d'Italie. Ce jeu est aussi à rapprocher du Cavagnole.

Étymologie et variété des appellations

Règles du jeu

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Le tirage au sort du numéro

Un meneur de jeu tire au sort une boule sur laquelle est inscrit un numéro (de 1 à 90). Pour que le choix soit véritablement aléatoire, les boules sont agitées dans un boulier, un sac ou un pot. Dès qu'il a tiré une boule, le meneur de jeu annonce à voix claire et audible de tous, la valeur lue.

Les joueurs ont reçu ou acheté des cartons en début de partie. Les cartons sont valables pour toute la durée du loto. Sur chaque carton figure une grille comportant trois lignes et neuf colonnes. Parmi les cellules qui en résultent, quatre, dans chaque ligne, sont vides alors que cinq comportent un nombre. C'est dire que chaque carton affiche quinze numéros.

Chaque joueur, à l'annonce du numéro tiré par le meneur de jeu, vérifie si l'un de ses cartons comporte le numéro tiré. Si oui, il met un jeton sur la case correspondante.

On procède alors à un nouveau tirage et ainsi de suite jusqu'à ce qu'un des participants ait gagné.

Si une ligne entière (les cinq cases) est remplie on dit qu'il y a « quine » ; si les trois lignes d'un carton sont pleines, on dit qu'il y a « carton plein ». Selon les règles de jeu définies en début de partie, celui qui réalise le premier une quine, une double quine (deux lignes) ou un carton plein est gagnant d'un lot plus ou moins important qui est traditionnellement « en nature » et peut parfois être très important: par exemple un cochon, des bons d'achats, un voyage.

En France

Le quine ou loto peut se jouer toute l'année, le nombre de lotos est limité à six par an (uniquement si l'association n'organise que des lotos en manifestation exceptionnelle) et par association.

La mise maximum du joueur doit être inférieure ou égale à 20 € pour l'ensemble de ses cartons^[1].

Le loto doit être organisé dans un but social, culturel, scientifique ou sportif et le but précis du loto doit être mentionné sur les moyens de communication.

Il est interdit d'organiser des ramassages des participants en car de tourisme.

Il est également interdit de mettre en jeu de la volaille vivante, du gibier et de l'argent (les cartes cadeaux ou les bons d'achat sont légaux). L'ensemble des lots de viande à gagner doit porter une trace de suivi depuis le lieu de l'abattage.

Le loto peut se jouer uniquement dans un cadre associatif restreint, c'est-à-dire uniquement les adhérents et les sympathisants de l'association, les lotos ne doivent pas être ouverts au grand public. De nombreuses associations organisent très régulièrement des lotos traditionnels afin d'obtenir des recettes pour la réalisation de leurs projets.

En Belgique

En Belgique, la Loterie nationale organise différents jeux de hasard dont le lotto (écrit avec deux t), le tirage se déroule comme en France, mais il faut trouver six bons numéros sur 45 possibles (42 avant 2011).

En France

En France, le Loto est proposé sous la marque commerciale FDJ par la société FDJ United — anciennement La Française des Jeux, renommée en mars 2025^[2] —, qui détient le monopole des jeux de loterie. Pour valider une grille, le joueur coche cinq numéros parmi 49 et un « numéro Chance » parmi 10. Depuis novembre 2019, une option « 2nd tirage », facturée 0,80 € en supplément, permet de rejouer les cinq numéros (hors numéro Chance) lors d'un tirage complémentaire. Le jackpot du premier rang est garanti à 2 millions d'euros au minimum et progresse d'un million d'euros à chaque tirage sans gagnant, dans la limite de 34 tirages consécutifs, au terme desquels la cagnotte est obligatoirement redistribuée aux rangs inférieurs^[3]. Le record du jeu s'établit à 30 millions d'euros, remportés le 4 décembre 2021 par un joueur d'Orgères, en Ille-et-Vilaine^[4],[5].

En Suisse

La Loterie romande (pour les cantons romands) et Swisslos (pour les cantons alémaniques et le canton du Tessin) organisent différents jeux de tirage dont le Swisslotto. Il faut trouver 6 chiffres sur 45 pour remporter le jackpot du Swisslotto. De plus, il faut choisir un chiffre entre 1 et 3 en plus des 6 bons numéros.

Dès le 10 janvier 2013, le Swiss loto a remplacé le Swisslotto, avec de nouvelles règles qui se rapprochent de celles en vigueur en France : 6 numéros sur 42, ainsi qu'un numéro chance entre 1 et 6.

Nombre de combinaisons

Sur un loto où l'on doit choisir ${\displaystyle k}$ nombres parmi ${\displaystyle n}$ possibles, il y a ${\displaystyle {n \choose k}}$ combinaisons possibles. Ainsi dans la variante pratiquée par la Française des Jeux jusqu'en 2008, il y a ${\displaystyle {49 \choose 6}=13\;983\;816}$ grilles différentes^[6].

Depuis le 6 octobre 2008, la formule repose sur le choix de cinq numéros parmi 49, complétés par un « numéro chance » compris entre 1 et 10. Le nombre de grilles distinctes s'élève alors à ${\displaystyle {49 \choose 5}\times 10=1\;906\;884\times 10=19\;068\;840}$, si bien qu'une grille simple a une chance sur 19 068 840 de comporter la combinaison complète^[7],[8].

Depuis le 4 novembre 2019, une option payante appelée « 2nd tirage » donne lieu à un tirage additionnel de cinq numéros parmi 49, sans numéro chance : le nombre de combinaisons y est de ${\displaystyle {49 \choose 5}=1\;906\;884}$^[9].

Probabilité de gain par rang

Le tirage principal comporte neuf rangs de gain^{[N 1]}. Le nombre de grilles conduisant à exactement ${\displaystyle i}$ numéros gagnants vaut ${\displaystyle {5 \choose i}{44 \choose 5-i}}$, ce résultat étant multiplié par 1 lorsque le numéro chance est également trouvé et par 9 dans le cas contraire.

La probabilité d'obtenir un gain, quel qu'en soit le rang, est ainsi de ${\displaystyle 3\;185\;973/19\;068\;840\approx 16{,}7\;\%}$, soit environ une chance sur six, valeur communiquée par l'opérateur^[10].

Probabilités de l'option 2nd tirage

Le tirage additionnel ne comportant pas de numéro chance, ses quatre rangs de gain se calculent directement à partir des 1 906 884 combinaisons de cinq numéros parmi 49.

Les deux tirages étant indépendants, la probabilité d'obtenir au moins un gain sur l'un ou l'autre pour une grille jouée avec l'option vaut ${\displaystyle 1-(1-0{,}1671)(1-0{,}0745)\approx 22{,}9\;\%}$, soit environ une chance sur 4,4 ; la Française des Jeux communique pour sa part sur « près d'une chance sur quatre »^[10],[9].

Nombre de grilles à remplir pour garantir un nombre fixé de numéro

Si l'on ne s'impose pas la contrainte que tous les numéros choisis soient corrects, il est possible de garantir l'obtention d'un nombre fixé de numéros corrects sans avoir à jouer toutes les grilles possibles^{[N 2]}.

Répétitions d'un même tirage

Lorsqu'il y a ${\displaystyle n}$ valeurs possibles et choisies uniformément, le nombre de tirages indépendants à effectuer pour obtenir deux résultats identiques avec une probabilité de 0,5 est de l'ordre de ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ — plus précisément de ${\displaystyle {\sqrt {2n\ln 2}}\approx 1{,}18{\sqrt {n}}}$ —, c'est le paradoxe des anniversaires. Appliquée au loto français dans sa formule d'avant 2008, qui comptait 13 983 816 combinaisons, cette estimation situe ce seuil aux alentours de 4 400 tirages^[12].

Avec la formule en vigueur depuis 2008, le seuil est repoussé à environ 5 140 tirages lorsque l'on tient compte du numéro chance (19 068 840 combinaisons), mais il retombe à environ 1 630 tirages pour la seule combinaison de cinq numéros (1 906 884 combinaisons), soit une dizaine d'années à raison de trois tirages hebdomadaires.

Une telle répétition a été observée au loto bulgare, où la combinaison 4 - 15 - 23 - 24 - 35 - 42 a été tirée à deux reprises en quatre jours, le 6 septembre 2009 puis le 10 septembre 2009^[12],[13].

Bibliographie

• Pascal Mallet, Comment bien organiser son loto, 2009, éditions KALEATO
• P. Roger, Lotomania, Éditions Village Mondial, 2005
• Vincent Montgaillard, Les Millionnaires du loto, Paris, éditions de l'Opportun, 2016.

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