Méthode des moments (analyse numérique)

Discrétisation

La méthode des moments permet de résoudre les équations inhomogènes du type :

${\displaystyle L(f)=g}$

où L est un opérateur linéaire, f et g deux fonctions. Généralement, on nomme la fonction g le terme excitation ou source, et f le terme de champ ou la réponse, l'inconnu que l'on cherche à déterminer.

La fonction f peut être décomposée sur une base de fonctions ${\displaystyle (f_{i})}$:

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{i}}$

où les coefficients ${\displaystyle \alpha _{n}}$ sont constants. L'opérateur L étant linéaire, on a :

${\displaystyle \sum _{i=1,n}\alpha _{i}L(f_{i})=g}$

On définit également un produit scalaire dans l'espace des fonctions (généralement un espace de Hilbert) ainsi que des fonctions tests w_j dans le domaine de l'opérateur L. En prenant le produit scalaire de l'équation précédente avec chaque w_j, on obtient :

${\displaystyle \sum _{i=1,n}\alpha _{i}\langle w_{j},L(f_{i})\rangle =\langle w_{j},g\rangle }$

Cette série d'équations peut se récrire sous forme matricielle :

${\displaystyle \mathrm {L} [\alpha ]=[g]}$

où

${\displaystyle \mathrm {L} ={\begin{pmatrix}\langle w_{1},L(f_{1})\rangle &\langle w_{1},L(f_{2})\rangle &\cdots &\langle w_{1},L(f_{n})\rangle \\\langle w_{2},L(f_{1})\rangle &\langle w_{2},L(f_{2})&\cdots &\langle w_{2},L(f_{n})\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle w_{n},L(f_{1})\rangle &\langle w_{n},L(f_{2})\rangle &\cdots &\langle w_{n},L(f_{n})\rangle \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle [\alpha ]=\left({\begin{matrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \end{matrix}}\right),\ [g]=\left({\begin{matrix}\langle w_{1},g\rangle \\\langle w_{2},g\rangle \\\vdots \\\langle w_{n},g\rangle \end{matrix}}\right)}$

Si la matrice L est inversible, alors les coefficients ${\displaystyle \alpha _{i}}$ peuvent être calculés par :

${\displaystyle [\alpha ]=\mathrm {L} ^{-1}[g]}$

Méthode des moments

La méthode des moments consiste à choisir l'ensemble de fonctions-test w_i = x^i-1