M-matrice

M-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ est une M-matrice si c'est une Z-matrice et si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée, équivalentes sous l'hypothèse que ${\displaystyle M\in \mathbf {Z} }$ :

1. ${\displaystyle M\in \mathbf {P} }$,
2. ${\displaystyle M\in \mathbf {S} }$,
3. ${\displaystyle M}$ est inversible et ${\displaystyle M^{-1}\geqslant 0}$ (tous les éléments de son inverse sont positifs),
4. toutes les valeurs propres de ${\displaystyle M}$ ont une partie réelle strictement positive.

On note M l'ensemble des M-matrices d'ordre quelconque. On appelle M-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à M.

M-matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. ${\displaystyle M\in \mathbf {M} }$,
2. pour tout ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \operatorname {Adm} (M,q)}$ contient un minimum (pour l'ordre ${\displaystyle \leqslant }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) qui est l'unique solution de ${\displaystyle \operatorname {CL} (M,q)}$,
3. pour tous vecteurs ${\displaystyle q^{1}\leqslant q^{2}}$, les solutions ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$ de ${\displaystyle \operatorname {CL} (M,q^{i})}$ vérifient ${\displaystyle {\bar {x}}^{1}\geqslant {\bar {x}}^{2}}$.