Master theorem de Ramanujan

Sous des hypothèses qui ont été précisées par Hardy^[2], et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu'en fait Ramanujan, le théorème est le suivant :

Ramanujan l'a fréquemment utilisé pour calculer des intégrales définies et des séries entières.

Une autre forme du master theorem est :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}({\lambda (0)-x\lambda (1)+x^{2}\lambda (2)-\cdots })\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)}$

qui revient à la précédente par la substitution ${\displaystyle \lambda (n)={\frac {\phi (n)}{\Gamma (1+n)}}\!}$, en utilisant l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.

L'intégrale précédente est convergente pour ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ (si ${\displaystyle \phi }$ vérifie des conditions de croissance convenables^[3]).

Un résultat analogue avait été obtenu par J. W. L. Glaisher en 1874, mais n'avait guère attiré d'attention^[4].

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Le théorème est faux en général ; une démonstration sous des hypothèses « naturelles » (mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires) fut donnée par Godfrey Harold Hardy^[2], utilisant le théorème des résidus et le théorème d'inversion de Mellin (en).

Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci :

• pour ${\displaystyle |x|<a\leq 1,f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}}$

• ${\displaystyle \phi (-s)}$ est analytique pour ${\displaystyle \Re (s)<\varepsilon }$

• ${\displaystyle \Gamma (s)\phi (-s)}$ a une décroissance exponentielle sur la droite verticale ${\displaystyle \Re (s)=\varepsilon /2}$

• ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{|s|=R,\Re (s)<\varepsilon /2}\Gamma (s)\phi (-s)ds=0}$

Pour ${\displaystyle x>0}$ soit ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{\Re (s)=\varepsilon /2}\Gamma (s)\phi (-s)x^{-s}\mathrm {d} s}$. La décroissance exponentielle de ${\displaystyle \Gamma (s)\phi (-s)}$ implique que g est analytique sur ${\displaystyle ]0,\infty [}$.

De plus le théorème des résidus donne que pour ${\displaystyle x\in ]0,a[}$, ${\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\text{Res}}(\Gamma (s)\phi (-s)x^{-s},-k)=\sum _{k=0}^{\infty }{\text{Res}}(\Gamma (s),-k)\phi (k)x^{k}=f(x)}$. Donc g est en fait le prolongement analytique de f.

Enfin comme ${\displaystyle g(x)x^{\varepsilon /2}}$ est bornée, par inversion de Mellin, on a :

${\displaystyle \Gamma (s)\phi (-s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\mathrm {d} x}$ pour ${\displaystyle \Re (s)\in ]0,\varepsilon /2[}$.

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La série génératrice des polynômes de Bernoulli ${\displaystyle B_{k}(x)\!}$ est :

${\displaystyle {\frac {z\mathrm {e} ^{xz}}{\mathrm {e} ^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}$

Utilisant la fonction zêta de Hurwitz ${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}$, on a ${\displaystyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}\!}$ pour ${\displaystyle n\geq 1\!}$.

Le master theorem permet alors d'obtenir^[5] la représentation intégrale :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {\mathrm {e} ^{-ax}}{1-\mathrm {e} ^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}$, si ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}$.

En utilisant la définition de Weierstrass :

${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{x/n}\!}$,

équivalente à

${\displaystyle \ln \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}$ (où ${\displaystyle \zeta (k)\!}$ est la fonction zêta de Riemann), le master theorem donne alors :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\ln \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}$ (pour ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}$).

En particulier, pour ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!}$ et ${\displaystyle s={\frac {3}{4}}\!}$, on obtient

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\ln \Gamma (1+x)}{x^{5/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{3}}\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\ln \Gamma (1+x)}{x^{9/4}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}$,

résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica 7^[3].