Mesure aléatoire

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En théorie des probabilités, une mesure aléatoire est une détermination de mesure d'un élément aléatoire^[1],[2]. Soit X un espace métrique séparable complet et ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ la tribu de son ensemble de Borel. Une mesure de Borel μ sur X est finie si μ (A) < ∞ pour chaque ensemble A borélien limité. Soit ${\displaystyle M_{X}}$ l'espace de toutes les mesures finies sur ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$. Soit (Ω, ℱ, P) un espace probabilisé. Alors, une mesure aléatoire des cartes de cet espace de probabilité à l'espace mesurable (${\displaystyle M_{X}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(M_{X})}$)^[3]. Une mesure peut généralement être décomposée comme suit :

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

Ici ${\displaystyle \mu _{d}}$ est une mesure diffuse non-composée, tandis que ${\displaystyle \mu _{a}}$ en est purement une.