Mesure de Brown

Soit ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ une algèbre de von Neumann avec un état ${\displaystyle \tau }$ tracial, normale et fidèle. Pour ${\displaystyle T\in {\mathcal {M}}}$, soit ${\displaystyle \mu _{|T|}}$ la mesure spectrale de ${\displaystyle |T|=(T^{*}T)^{1/2}}$ par rapport à ${\displaystyle \tau }$.

Le déterminant opérateur suivant est appelé déterminant de Fuglede-Kadison (en)

${\displaystyle \Delta (T)=\exp \left(\int _{0}^{+\infty }\ln t\,\mathrm {d} \mu _{|T|}(t)\right).}$

Brown a prouvé qu'il existe une mesure de probabilité unique ${\displaystyle \mu _{T}}$ avec support compact sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle \mu _{T}}$ a la propriété

${\displaystyle \ln \Delta (T-\lambda \mathbf {1} )=\int _{\mathbb {C} }\ln |z-\lambda |\mathrm {d} \mu _{T}(z),\quad \lambda \in \mathbb {C} .}$

Cette mesure ${\displaystyle \mu _{T}}$ est appelée la mesure de Brown^[2].

• (en) Uffe Haagerup et Flemming Larsen, « Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras », Journal of Functional Analysis, vol. 176, n^o 2,‎ 1999 (lire en ligne)
• (en) Uffe Haagerup et Hanne Schultz, « Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra », Mathematica Scandinavica, vol. 100, n^o 2,‎ 2007 (DOI 10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arXiv math/0605251)
• (en) James A. Mingo et Roland Speicher, Free probability and random matrices, vol. Vol. 35, Springer Verlag, coll. « Fields Institute Monographs », 2017