Michael Shub

Les centres d'intérêt de Mike Shub englobent la théorie du chaos et la complexité des algorithmes travaillant sur les nombres réels.

Dans sa thèse de doctorat de 1967, il a introduit la notion d'« applications dilatantes » (expanding maps) et a entrepris de les classer. Les applications dilatantes ont été utilisées par Stephen Smale pour produire les premiers exemples d'attracteurs étranges structurellement stables^[3].

En 1974, il pose sa « conjecture entropique »^[4] :

Soit ${\displaystyle f:V\to V}$ une application continûment différentiable sur une variété différentiable ${\displaystyle V}$. Soit ${\displaystyle h(f)}$ l'entropie topologique de ${\displaystyle f}$. Soit ${\displaystyle f_{*}:\oplus H_{*}(V,\mathbb {R} )\to \oplus H_{*}(V,\mathbb {R} )}$ l'application induite sur la somme directe des groupes d'homologie de ${\displaystyle f}$. Soit ${\displaystyle HG(f)}$ la croissance homologique de ${\displaystyle f}$ définie par ${\displaystyle HG(f)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log |f_{*}^{n}|}$.

Alors ${\displaystyle h(f)\geq HG(f)}$.

Cette conjecture a été démontrée par Yosef Yomdin pour les applications infiniment différentiables en 1987^[5].

En 1986, il participe à l'élaboration de l'algorithme Blum Blum Shub de calcul de nombres pseudo-aléatoires^[6].

En 1989, il propose avec d'autres le modèle de Machine de Blum-Shub-Smale, une machine de Turing calculant sur les nombres réels^[7].

• Michael Shub, Stabilité globale des systèmes dynamiques, Société Mathématique de France, coll. « Astérisque » (n^o 56), 1978
• (en) M. W. Hirsch, C. C. Pugh et M. Shub, Invariant manifolds, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 583), 1977
• (en) Felipe Cucker, Lenore Blum, Michael Shub et Steve Smale, Complexity and Real Computation, Springer, 1998

• Machine de Blum-Shub-Smale
• Algorithme de Blum Blum Shub
• Théorie ergodique

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