Module de Specht

On considère une partition v de l'entier n et on fixe un anneau commutatif k . La partition détermine un diagramme de Young à n cases. Un tableau de Young de forme λ est une façon de remplir les cases de ce diagramme de Young par des nombres distincts ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ .

Un tabloïd est une classe d'équivalence de tableaux de Young où deux étiquetages sont équivalents si l'un est obtenu à partir de l'autre en permutant les entrées des lignes. Pour un tableau de Young ${\displaystyle T}$, on note ${\displaystyle \{T\}}$ le tabloïd correspondant. Le groupe symétrique sur n éléments agit sur l'ensemble des tableaux de Young de forme λ. Par conséquent, il agit sur les tabloïds, et sur le k-module libre V engendré par les tabloïds.

Étant donné un tableau de Young T de forme λ, soit

${\displaystyle E_{T}=\sum _{\sigma \in Q_{T}}\epsilon (\sigma )\{\sigma (T)\}\in V}$

où ${\displaystyle Q_{T}}$ est le sous-groupe de permutations qui préservant (en tant qu'ensembles) les colonnes de T et où ${\displaystyle \epsilon (\sigma )}$ est la signature de la permutation ${\displaystyle \sigma }$ . Le module de Specht de la partition λ est par définition le module engendré par les éléments ${\displaystyle E_{T}}$ quand T parcourt l' ensemble des tableaux de forme λ.

Une base du module de Specht est formé des éléments de ${\displaystyle E_{T}}$ pour T un tableau de Young standard.

Une introduction à la construction du module de Specht peut être trouvée dans la section 1 du chapitre « Specht Polytopes and Specht Matroids » ^[2].