Modèle d'impureté d'Anderson

Afin de comprendre le modèle, il est utile d'étudier ses différentes limites.

Dans la limite atomique, on ne considère que la partie incluant l'impureté:

${\displaystyle H_{at}=\sum _{\sigma }\epsilon _{\sigma }f_{\sigma }^{\dagger }f_{\sigma }+Uf_{\uparrow }^{\dagger }f_{\uparrow }f_{\downarrow }^{\dagger }f_{\downarrow }}$

Comme il n'y a qu'une seule impureté (une seule orbitale), l'espace d'Hilbert correspondant à cet hamiltonien est de dimension 4. Les 4 états propres du système sont donc: le vide ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$, l'occupation simple ${\displaystyle \left|\sigma \right\rangle =f_{\sigma }^{\dagger }\left|0\right\rangle }$ (${\displaystyle \sigma \in \left\{\uparrow ,\downarrow \right\}}$) et l'occupation double de l'orbitale ${\displaystyle \left|\uparrow \downarrow \right\rangle =\prod _{\sigma }f_{\sigma }^{\dagger }\left|0\right\rangle }$. Le spectre d'énergie pour la limite atomique est le suivant: 0 pour le vide, ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$ pour une occupation simple ${\displaystyle \left|\sigma \right\rangle }$ et ${\displaystyle \sum _{\sigma }\epsilon _{\sigma }+U}$ pour l'occupation double. Si on considère que l'état occupé est dégénéré en spin (${\displaystyle \epsilon _{\uparrow }=\epsilon _{\downarrow }\equiv E_{f}}$) alors ${\displaystyle H_{at}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle =(2E_{f}+U)\left|\uparrow \downarrow \right\rangle }$. En général, on considère que ${\displaystyle U>0}$ pour avoir une répulsion coulombienne des électrons sur un même site d'impureté et ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }<0}$ pour avoir des états liés. Si on calcule la variation d'énergie lorsqu'on enlève ou on ajoute un électron sur un site d'impureté en partant d'une occupation simple, on a:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\Delta E_{\text{enlève}}=\left\langle 0\right|H_{at}\left|0\right\rangle -\left\langle \sigma \right|H_{at}\left|\sigma \right\rangle =0-E_{f}=-E_{f}\\\Delta E_{\text{ajoute}}=\left\langle \uparrow \downarrow \right|H_{at}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left\langle \sigma \right|H_{at}\left|\sigma \right\rangle =2E_{f}+U-E_{f}=E_{f}+U\end{array}}}$

Ainsi, en général, la variation d'énergie lorsqu'on ajoute ou on enlève un électron peut s'écrire ${\displaystyle \Delta E={\frac {U}{2}}\pm \left(E_{f}+{\frac {U}{2}}\right)}$ où le ${\displaystyle +}$ est associé à l'ajout d'un électron et le ${\displaystyle -}$ est associé au retrait d'un électron. On peut voir que si ${\displaystyle {\frac {U}{2}}>\left|E_{f}+{\frac {U}{2}}\right|}$, alors ${\displaystyle \Delta E>0}$ et il devient coûteux en énergie d'enlever ou d'extraire un électron d'un site simplement occupé. On peut donc conclure que l'état ${\displaystyle \left|\sigma \right\rangle }$ est l'état fondamental du système atomique. On peut donc en conclure que pour une répulsion coulombienne suffisamment grande sur les sites d'impuretés, on peut voir l'émergence d'un moment magnétique local si l'orbitale atomique considérée est suffisamment localisée (orbitale d ou f).

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

• Portail de la physique