Modèle de la goutte liquide

Dans la formule semi-empirique de von Weizsäcker^[4], modifiée par Bethe, le noyau est considéré dans son état fondamental et de forme sphérique. L'énergie de liaison du noyau est complètement déterminée par A son nombre de masse, Z le nombre de ses protons et N celui de ses neutrons (avec ${\displaystyle A=N+Z}$). L'énergie de liaison tient compte de deux termes correctifs d'origine quantique :

${\displaystyle B(A,Z)=E_{\text{volume}}(A,Z)-E_{\text{surface}}(A,Z)-E_{\text{Coulomb}}(A,Z)-E_{\text{asymétrie}}(A,Z)+E_{\text{appariemment}}(A,Z)}$

Le terme d'antisymétrie résulte du principe d'exclusion de Pauli, qui impose des contraintes sur les états que peuvent occuper les nucléons et favorise les noyaux où ${\displaystyle N\approx Z}$.

Les nucléons sont des fermions qui ont un spin ${\displaystyle \pm 1/2}$ ; lorsqu'ils sont associés par paire de spin total nul, ils sont plus liés que lorsqu'ils sont isolés, d'où le terme d'appariement.

Le rayon du noyau est proportionnel à ${\displaystyle A^{1/3}}$ en raison de la saturation des forces nucléaires ; le volume du noyau atomique est donc proportionnel à A et sa surface proportionnelle à ${\displaystyle A^{2/3}}$. L'énergie de liaison s'écrit sous la forme :

${\displaystyle B(A,Z)=a_{v}A-a_{s}A^{2/3}-a_{c}{Z^{2} \over A^{1/3}}-a_{a}{(N-Z)^{2} \over A}+\delta (A,Z)}$

avec

• ${\displaystyle a_{v}\approx 16~{\textrm {MeV}}}$, coefficient du terme de volume
• ${\displaystyle a_{s}\approx 17~{\textrm {MeV}}}$, coefficient du terme de surface
• ${\displaystyle a_{c}\approx 0,7~{\textrm {MeV}}}$, coefficient de l'énergie coulombienne des protons
• ${\displaystyle a_{a}\approx 23~{\textrm {MeV}}}$, coefficient du terme d'antisymétrie
• ${\displaystyle \delta (A,Z)=\delta _{o}\ a_{p}\ A^{-3/4}}$, le terme d'appariement qui favorise les noyaux avec N ou Z pairs
  • ${\displaystyle a_{p}\approx 34~{\textrm {MeV}}}$
  • ${\displaystyle \delta _{o}{\begin{cases}+1&{\mbox{pour }}A{\mbox{ pair, }}Z{\mbox{ et }}N{\mbox{ pairs}}\\0&{\mbox{pour }}A{\mbox{ impair}}\\-1&{\mbox{pour }}A{\mbox{ pair, }}Z{\mbox{ et }}N{\mbox{ impairs}}\end{cases}}}$

	Wapstra[6]	Rohlf[7]
${\displaystyle a_{v}}$	14,1	15,75
${\displaystyle a_{s}}$	13	17,8
${\displaystyle a_{c}}$	0,595	0,711
${\displaystyle a_{a}}$	19	23,7
${\displaystyle a_{p}}$	33,5	11,18
A pair Z pair N pair	−1	+1
A pair Z impair N impair	+1	−1
A impair	0

On note la différence de signe pour l'énergie d'appariement dans les formulations.

Beaucoup de travaux ont été effectués à la suite des années 1930 pour préciser et étendre le domaine d'application du modèle :

• ajustement des paramètres pour reproduire les données expérimentales de plus en plus abondantes : énergies de liaisons des noyaux instables, au-delà de la vallée de la stabilité, barrières de fission, etc., et les déformations des noyaux qui ne sont pas tous sphériques et homogènes^[8] ;
• le modèle de la gouttelette liquide (droplet model), qui inclut les effets de la diffusivité de la surface du noyau et les différences locales entre densité des protons et densité des neutrons : par exemple, existence d'une peau de neutron à la périphérie du noyau, lorsque le nombre de neutrons excède fortement le nombre de protons^[9].

Le modèle de la goutte liquide a été étendu pour traiter les noyaux déformés, mais qui restent proches de la symétrie sphérique. L'étude de la dynamique de la fusion ou de la fission des noyaux nécessite de traiter les grandes déformations.

Par exemple, la fusion de deux noyaux nécessite de calculer l'énergie selon le modèle de la goutte liquide, pour une séquence de formes qui passe de manière continue de deux noyaux séparés soumis à la répulsion coulombienne, à un noyau très déformé, puis à un noyau unique.

Différentes séquences de formes ont été testées : par exemple la lemniscate elliptique de révolution^[10] et son inverse pour laquelle les différentes contributions à l'énergie sont calculables en termes d'intégrales elliptiques. Le modèle permet de calculer avec une bonne précision les barrières de potentiel et les sections efficaces de fusion des noyaux^[11]. Cependant, seule la prise en compte de la mécanique quantique (effet de couches) permet de décrire de manière précise la fission spontanée des noyaux radioactifs ou la section efficace de production des noyaux transuraniens.

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