Modèle mixte

La notion de modèle à effets aléatoires fut introduite par Ronald Fisher, dans son étude des corrélations entre traits de caractère entre parents^[1].

En notation matricielle, un modèle mixte peut être représenté comme suit :

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=X{\boldsymbol {\beta }}+Z{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\epsilon }}}$

avec

• ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ un vecteur connu d'observations, de moyenne ${\displaystyle E({\boldsymbol {y}})=X{\boldsymbol {\beta }}}$;
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ un vecteur inconnu d'effets fixes;
• ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ un vecteur inconnu d'effets aléatoires, de moyenne ${\displaystyle E({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}}$ et ayant pour matrice de variance-covariance ${\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {u}})=G}$;
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ un vecteur inconnu d'erreur aléatoires, de moyenne ${\displaystyle E({\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}$ et de variance ${\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {\epsilon }})=R}$;
• ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Z}$ des matrices liant les observations ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ à ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ et ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$, respectivement.

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