Monade (théorie des catégories)

La notion apparaît pour la première fois, sous le nom de « construction standard », dans un article de Roger Godement publié en 1958^[1]. Il s'agissait en fait d'une comonade, qui permettait de résoudre un problème de cohomologie des faisceaux. La notion est reprise pour l'étude de l'homotopie des catégories par Peter Huber^[2], qui donne notamment la preuve que toute paire d'adjoint donne lieu à une monade. En 1965, Heinrich Kleisli (en)^[3] et indépendamment, Samuel Eilenberg et John Coleman Moore^[4] démontrent la réciproque. Ce sont ces derniers qui donnent le nom de « triples » à la construction.

En 1963, William Lawvere propose une théorie catégorique de l'algèbre universelle. Fred Linton montre en 1966 que cette théorie peut s'exprimer en termes de monades^[5]. Les monades, issues de considérations plutôt topologiques, et a priori plus difficiles à manier que les théories de Lawvere, sont devenues la formulation la plus courante de l'algèbre universelle en termes de catégories.

En 1966, Jean Bénabou propose le nom de monade lors d'une conférence. Évoquant le mot « monoide », voire « monoidal triad » en anglais, ce nom est popularisé par Saunders Mac Lane dans son livre Categories for the Working Mathematician (1971). Le lien initial avec la philosophie de Leibniz (où la monade peut être décrite comme une unité génératrice de l'univers) n'est pas avéré^[6],[7],[8].

Dans les années 1980, Eugenio Moggi (en) utilise les monades en informatique théorique pour modéliser certains aspects des programmes informatiques, tels que la gestion d'exceptions ou les effets de bord^[9]. Cette idée sera prise au sérieux dans l'implémentation de plusieurs langages de programmation fonctionnelle sous la forme de primitives appelées également « monades ».

En 2001, plusieurs mathématiciens réalisent le lien entre cette utilisation des monades pour étudier la sémantique dénotationelle d'un programme et les travaux de Lawvere^[10], un lien entre algèbre et sémantique qui constitue aujourd'hui un domaine de recherche actif.

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Dans la définition qui suit, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ désigne une catégorie. On désigne le foncteur identité de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ par ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$, c'est-à-dire le foncteur qui associe chaque objet de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ à lui-même, et chaque morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ à lui-même. On rappelle qu'un endo-foncteur ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est un foncteur de de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$.

Une monade^[11] dans une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est la donnée d'un triplet ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ avec ${\displaystyle T}$ un endo-foncteur de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, et deux transformations naturelles ${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T}$ et ${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$ telles que les diagrammes suivants commutent :

C'est-à-dire ${\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}$ (qui mime l'associativité d'un monoïde) et ${\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}}$ (existence d'un élément neutre).

Dans la définition précédente, ${\displaystyle \eta }$ est l'unité et ${\displaystyle \mu }$ est la multiplication^[11].

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Gestion d'erreurs

Considérons une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ avec un objet ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. On suppose aussi que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ admet des sommes (i.e. coproduits). L'intuition est que les objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sont des types et ${\displaystyle E}$ est un type d'exceptions^[11].

Le triplet suivant ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ est une monade avec :

• ${\displaystyle T}$ est le foncteur qui associe tout objet ${\displaystyle A}$ à l'objet ${\displaystyle A+E}$ et tout morphisme ${\displaystyle f}$ le morphisme ${\displaystyle f+id_{E}}$
• ${\displaystyle \eta }$ est la transformation naturelle définie par ${\displaystyle \eta _{A}:A\rightarrow A+E}$ étant l'inclusion
• ${\displaystyle \mu }$ est la transformation naturelle définie par ${\displaystyle \mu _{A}:(A+E)+E\rightarrow A+E}$ qui est l'identité sur ${\displaystyle A+E}$ et l'inclusion sur ${\displaystyle E}$.

En termes simples, ${\displaystyle \eta }$ associe une valeur d'un certain type comme une valeur (ou une exception), alors que ${\displaystyle \mu }$ lui "aplatit" le résultat : une exception est une exception, quel soit arrivé avant (${\displaystyle A+E}$ est préservée) ou maintenant (${\displaystyle E}$).

Listes

Considérons^[11] une catégorie ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ (ensembles). Le triplet suivant ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ est une monade avec :

• ${\displaystyle T}$ est le foncteur qui associe à tout ensemble ${\displaystyle A}$ à l'ensemble des listes finis d'éléments dans ${\displaystyle A}$ ; à tout morphisme ${\displaystyle f}$ elle associe l'opération qui applique ${\displaystyle f}$ à une liste
• ${\displaystyle \eta }$ est la fonction qui à un élément ${\displaystyle x}$ associe la liste ${\displaystyle [x]}$ de longueur 1
• ${\displaystyle \mu }$ est la transformation naturelle qui aplatit la liste : ${\displaystyle [[x_{11},\dots ,],\dots ,[x_{k1},\dots ]]\mapsto [x_{11},\dots ,\dots ,x_{k1},\dots ]}$

Soit une paire d'adjoints ${\displaystyle F\dashv G}$, ayant pour unité

${\displaystyle \eta$ :{\mathsf {id}}\mapsto G\circ F}

et co-unité

${\displaystyle \varepsilon :F\circ G\mapsto {\mathsf {id}}}$

Alors le foncteur ${\displaystyle T=G\circ F}$, muni des transformations

${\displaystyle \eta$ :{\mathsf {id}}\mapsto T}

${\displaystyle \mu =G(\varepsilon F):T\circ T\mapsto T}$

forme une monade.

Réciproquement, pour toute monade ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$, il existe une paire d'adjoints ${\displaystyle F\dashv G}$ telle que ${\displaystyle T=G\circ F}$. Il existe potentiellement de nombreuses décompositions, la plus petite formant la catégorie de Kleisli, la plus large la catégorie d'Eilenberg-Moore.