Catégorie de Kleisli

On considère une monade ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ sur une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. La catégorie de Kleisli ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}}$ possède les mêmes objets que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mais les morphismes sont donnés par

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY)}$

L'identité est donnée par ${\displaystyle \eta }$, et la composition fonctionne ainsi : si ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)}$ et ${\displaystyle g\in \operatorname {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(Y,Z)}$, on a

${\displaystyle g\circ f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f}$

qui correspond au diagramme :

${\displaystyle X{\overset {f}{\longrightarrow }}TY{\overset {Tg}{\longrightarrow }}TTZ{\overset {\mu _{Z}}{\longrightarrow }}TZ}$

Les morphismes de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de la forme ${\displaystyle X\to TY}$ sont parfois appelés morphismes de Kleisli.

On définit le foncteur ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{T}}$ par :

${\displaystyle FX=X}$

${\displaystyle F(f:X\to Y)=\eta _{Y}\circ f}$

et un foncteur ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}_{T}\to {\mathcal {C}}}$ par :

${\displaystyle GY=TY}$

${\displaystyle G(f:X\to TY)=\mu _{Y}\circ Tf}$

Ce sont bien des foncteurs, et on a l'adjonction ${\displaystyle F\dashv G}$, la counité de l'adjonction étant ${\displaystyle \varepsilon _{Y}=1_{TY}}$.

Enfin, ${\displaystyle T=GF}$ et ${\displaystyle \mu =G\varepsilon F}$ : on a donné une décomposition de la monade en termes de l'adjonction ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$.