Monoïde libre

Soit ${\displaystyle A=\{0,1\}}$. Les lettres de ${\displaystyle A}$ sont ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 1}$. Un mot de longueur ${\displaystyle 5}$ de ${\displaystyle A}$ est par exemple le mot ${\displaystyle 01001}$. On définit une opération interne sur ${\displaystyle A}$ appelée concaténation des mots. Par exemple, la concaténation de ${\displaystyle 01001}$ et de ${\displaystyle 011}$ dans cet ordre est ${\displaystyle 01001011}$. Avec le mot vide ${\displaystyle \epsilon }$ de longueur ${\displaystyle 0}$, on obtient alors une loi associative possédant un élément neutre. Et ${\displaystyle A}$ muni de la concaténation est alors un monoïde, qu'on appelle monoïde libre sur ${\displaystyle A}$.

Le monoïde libre sur un ensemble A est le monoïde M contenant A et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout monoïde N et toute application f : A → N, il existe un unique morphisme de monoïdes de M dans N prolongeant f^[1].

C'est en cela qu'on parle d'objet libre.