Morphisme affine

Si X est un schéma, un ouvert affine de X est une partie ouverte U de X qui, munie de la structure de schéma induite par celle de X, soit un schéma affine.

Soit ${\displaystyle f:X\to Y}$ un morphisme de schémas. On dit que ${\displaystyle f}$ est un morphisme affine si pour tout ouvert affine ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ est un ouvert affine de X.

On montre que cette propriété est équivalente à la suivante qui est plus facilement vérifiable: il existe un recouvrement de ${\displaystyle Y}$ par des ouverts affines ${\displaystyle V_{i}}$ tels que ${\displaystyle f^{-1}(V_{i})}$ soit un ouvert affine de X pour tout i.

Exemples

• Un morphisme entre deux schémas affines est toujours affine.

• Une immersion ouverte dans un schéma affine n'est affine que si le schéma de départ est également affine.

• Une immersion fermée est un morphisme affine.

• La composition de morphismes affines est affine.

• Si ${\displaystyle X\to Z}$ et ${\displaystyle Y\to Z}$ sont affines, alors le produit fibré ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to Z}$ est affine.

• Si ${\displaystyle X\to Y}$ est affine si ${\displaystyle Z\to Y}$ est un morphisme de schémas, alors le changement de base ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ est affine.

Summarize Timeline Fact Check

Un morphisme affine ${\displaystyle f:X\to Y}$ induit un faisceau quasi-cohérent d'algèbres ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$.

Inversement, si ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est un faisceau quasi-cohérent d'algèbres sur ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$, alors on peut définir un Y-schéma ${\displaystyle \pi$ :\mathrm {Spec} {\mathcal {A}}\to Y} tel que pour tout ouvert affine V de Y, ${\displaystyle \pi ^{-1}(V)=\mathrm {Spec} ({\mathcal {A}}(V))}$.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ un faisceau localement libre de rang r. On peut considérer le faisceau d'algèbres symétriques ${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathcal {E}})}$. Le morphisme affine ${\displaystyle \rho$ :\mathrm {Spec} (\mathrm {Sym} ({\mathcal {E}}))\to Y} est alors un fibré vectoriel^[1]de rang r. Pour tout ouvert affine V de Y sur lequel ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ est libre, ${\displaystyle \rho ^{-1}(V)}$ est isomorphe à l'espace affine ${\displaystyle \mathbb {A} _{V}^{r}}$ sur V.