Moyenne de Fréchet

Soit (M, d) un espace métrique complet. Soient x₁, x₂, …, x_N des points de M. Pour tout point p de M, on définit la variance de Fréchet comme la somme des carrés des distances de p aux x_i^[4]:

${\displaystyle \Psi (p)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}$

Les moyennes de Karcher sont alors les points m de M qui minimisent Ψ^[2]:

${\displaystyle m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\Psi (p)}$

et la valeur minimale atteinte est la variance de Fréchet de x₁, x₂, …, x_N

${\displaystyle m=\mathop {\min } _{p\in M}\Psi (p)}$

S'il existe un m unique de M qui minimise strictement Ψ, alors cet unique minimum est la moyenne de Fréchet.

Pour les nombres réels, la moyenne arithmétique est une moyenne de Fréchet, utilisant la distance euclidienne habituelle comme fonction de distance.

La médiane est aussi une moyenne de Fréchet, si la définition de la fonction Ψ est généralisée aux puissances non quadratiques

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{\alpha }(p,x_{i}),}$

où ${\displaystyle \alpha =1}$, et la distance euclidienne est la fonction de distance d^[5]. Dans les espaces de dimension supérieure, cela devient la médiane géométrique.

Sur la demi-droite des nombres réels positifs, la fonction de distance (hyperbolique) ${\displaystyle d(x,y)=|\ln(x)-\ln(y)|}$ peut être définie. La moyenne géométrique est la moyenne de Fréchet correspondante à cette distance. En effet ${\displaystyle f:x\mapsto {\rm {e}}^{x}}$ est alors une isométrie de l'espace euclidien à cet espace « hyperbolique » et doit respecter la moyenne de Fréchet : la moyenne de Fréchet des ${\displaystyle x_{i}}$ est l'image de ${\displaystyle f}$ de la moyenne de Fréchet (au sens euclidien) des points ${\displaystyle f^{-1}(x_{i})}$, c'est-à-dire qu'il vérifie :

${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}(x_{i})\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$.

Sur l'ensemble des nombres réels positifs, la métrique (fonction distance) :

${\displaystyle d_{\operatorname {H} }(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|}$

peut être définie. La moyenne harmonique est la moyenne de Fréchet correspondant à cette distance.

Étant donné un nombre réel non nul ${\displaystyle m}$, la moyenne d'ordre p peut être obtenue comme une moyenne de Fréchet en introduisant la métrique

${\displaystyle d_{m}(x,y)=\left|x^{m}-y^{m}\right|}$

Étant donnée une fonction bijective et continue ${\displaystyle f}$, la moyenne quasi-arithmétique peut être définie comme une moyenne de Fréchet obtenue en utilisant la métrique :

${\displaystyle d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|}$

La définition générale de la moyenne de Fréchet (qui inclut la possibilité de pondérer les observations) peut être utilisée pour dériver des versions pondérées pour tous les types de moyennes ci-dessus.

Pour la moyenne arithmétique, les x_i sont pondérés par un poids, noté respectivement ω_i. Les variances et la moyenne de Fréchet sont alors définies comme suit :

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}\omega _{i}\,d^{2}(p,x_{i}),\;\;\;\;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}\omega _{i}d^{2}(p,x_{i}).}$