Méthode de Ferrari

La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari (1540) permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation. Elle fournit pour les quatre solutions, sous une apparence différente, la même formule que celle des méthodes ultérieures de Descartes (1637) et de Lagrange (1770).

On ramène d'abord^[1] l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

z^{4}+pz^{2}+qz+r=0

.

Le point central de la méthode^[2]^,^[3] consiste à remplacer ensuite le monôme $z 4$ par le polynôme $(z 2 + λ) 2 - 2λ z 2 - λ 2$ , paramétré par $λ$ , et à trouver une valeur de $λ$ convenable, qui permette d'écrire $z 4 + pz 2 + qz + r$ comme une différence de deux carrés donc, via une identité remarquable, comme un produit de deux polynômes du second degré.

Certains auteurs^[4]^,^[5] préfèrent commencer par une complétion du carré, $z 4 + pz 2 = (z 2 + p /2) 2 - p 2 /4$ , ce qui leur permet de présenter la méthode de Ferrari avec un autre paramètre ( $u = λ - p /2$ ^[6]), égal à la moitié de celui de Descartes et Lagrange ( $y = 2λ - p$ ).

Mise en œuvre

${\begin{array}{rl}z^{4}+pz^{2}+qz+r&=(z^{2}+\lambda )^{2}-2\lambda z^{2}-\lambda ^{2}+pz^{2}+qz+r\\&=(z^{2}+\lambda )^{2}-\left[(2\lambda -p)z^{2}-qz+\lambda ^{2}-r\right].\end{array}}$

Le terme $(2λ - p) z 2 - qz + λ 2 - r$ , vu comme polynôme en $z$ , s'écrit sous forme d'un carré si et seulement si son discriminant, $q 2 - 4(2λ - p)(λ 2 - r)$ , est nul.

On résout donc l'équation correspondante, appelée cubique résolvante (en) :

8\lambda ^{3}-4p\lambda ^{2}-8r\lambda +4rp-q^{2}=0

,

en utilisant l'une des méthodes classiques de résolution d'une équation de degré 3.

En choisissant une solution $λ 0$ , puis $a 0$ , $b 0$ (éventuellement complexes) tels que :

a_{0}^{2}=2\lambda _{0}-p\quad {\text{et}}\quad b_{0}=-{\frac {q}{2a_{0}}}

,

l'équation initiale devient :

(z^{2}+\lambda _{0})^{2}-(a_{0}z+b_{0})^{2}=0

ou encore :

(z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0})(z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0})=0

,

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs :

z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0}=0\quad {\text{ou}}\quad z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0}=0

.

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour $z$ , soit quatre valeurs en tout.

Presque tous les auteurs excluent implicitement^[7] le cas où $2λ 0 - p$ est nul (qui conduirait à une division par $a 0 = 0$ dans la définition ci-dessus de $b 0$ ). Mais dans ce cas, $q = 0$ donc l'équation $z 4 + pz 2 + qz + r = 0$ est simplement une équation bicarrée^[8].

Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.

v · m Méthodes de résolution d'équations
Équations polynomiales	Équation du premier degré Équation du second degré Équation cubique Méthode de Cardan Substitution de Viète Méthode de Lagrange Méthode de Tschirnhaus Méthode de Bézout Équation quartique Méthode de Lagrange Méthode de Ferrari Méthode de Descartes Équation quintique Méthode d'Hermite
Recherche d'un zéro	Méthode de dichotomie Méthode de Householder Méthode de Newton Méthode de Halley Méthode de Bernoulli Méthode de la sécante Méthode de Muller Méthode de Brent Méthode de Chandrupatla Méthode de la fausse position Méthode de Héron Méthode de Laguerre Méthode quasi-Newton Méthode du cercle de séparation

Méthode de Ferrari

Mise en œuvre

Notes références

Voir aussi

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