Méthode des surfaces de niveau
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La méthode des surfaces de niveau est une technique numérique d'analyse de surfaces et de formes. Elle permet par exemple d'étudier le mouvement d'un objet en contact avec un objet déformable.
Si l'objet déformable est une courbe, l'idée consiste à considérer que cette courbe est la section d'un objet volumique fixe par un plan mobile, donc une courbe de niveau ; la troisième dimension représente le temps. De même, une surface déformable peut être traitée dans un espace à quatre dimensions. Cette modification du point de vue suffit pour esquiver certains problèmes posés dans l'espace physique par les modifications de la topologie, par exemple l'apparition de singularités (discontinuité de la surface ou du plan tangent à celle-ci).
La méthode des surfaces de niveau a été développée dans les années 1980 par les mathématiciens Stanley Osher et James Sethian. Elle s'est répandue dans de nombreuses disciplines, comme les effets spéciaux numériques, le traitement d'images, l'infographie, la géométrie algorithmique, l'optimisation et la mécanique des fluides numérique.
Description élémentaire
La méthode des surfaces de niveau est généralement utilisée pour suivre des interfaces à deux dimensions (on peut parler alors de méthode des lignes de niveau) ou trois dimensions.
Une façon efficace bien que très simple de comprendre la méthode dans le cas d'interfaces à deux dimensions consiste à étudier l'illustration ci-contre avant de poursuivre avec une définition un peu plus technique qui sera ainsi d'accès plus facile. La figure de droite illustre plusieurs idées importantes sur la méthode. En haut à gauche nous voyons une courbe, c'est-à-dire une région bornée par une frontière régulière. Au-dessous, la surface rouge représente une fonction qui détermine cette forme, le plan bleu étant le plan (x,y). Le bord de cette forme est alors la courbe de niveau de tandis que la forme proprement dite est l'ensemble des points pour lesquels est positif ou nul.
Dans la rangée supérieure nous voyons la modification de la topologie par une scission. Il serait extrêmement difficile de décrire numériquement cette transformation en paramétrant la frontière et en suivant son évolution. Il faudrait un algorithme capable de détecter le moment de cette scission puis de construire des paramétrisations des deux nouvelles courbes. D'autre part, si nous considérons la rangée inférieure, nous voyons que la fonction de courbe de niveau a simplement été translatée vers le bas. Il apparaît que, plutôt que de travailler directement sur une forme en envisageant toutes ses déformations possibles, il est beaucoup plus facile d'utiliser la fonction de surfaces de niveau correspondante dans un espace muni d'une dimension supplémentaire.
