Méthodes d'Adams-Bashforth

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Les méthodes d'Adams-Bashforth sont des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, basées sur un schéma à pas multiple. Contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui n'utilisent qu'un pas mais nécessitent plusieurs calculs, les méthodes d'Adams-Bashforth permettent d'alléger les calculs tout en gardant un ordre similaire.

Soit l'équation différentielle à résoudre : $y'=f(t,y)$

On considère une suite de temps $(t n)$ pour lesquelles on calcule les valeurs $(y n)$ . Pour cela, les méthodes usuelles utilisent un schéma utilisant une relation entre $y n$ et $t n$ pour le calcul de $y n + 1$ . Les méthodes d'Adams-Bashforth vont quant à elles utiliser plusieurs valeurs $y n, y n - 1,..., y n - r$ .

Soit $z$ une solution exacte de l'équation. On a alors : $z(t_{n+1})=z(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y)\,\mathrm {d} t.$

On suppose que les points $(z (t n - i))$ et les pentes $(f n - i) = (f (t n - i, z (t n - i)))$ soient connues pour $0 \leq i \leq r$ .

On calcule alors le polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points : $P_{n,r}(t)=\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}L_{n,i,r}(t),$ avec les polynômes de Lagrange suivants $L_{n,i,r}(t)=\prod _{0\leq j\leq r,j\neq i}{\frac {t-t_{n-j}}{t_{n-i}-t_{n-j}}}.$

On fait alors l'approximation : $z(t_{n+1})\simeq z(t_{n})+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t=z(t_{n})+\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t.$

La méthode d'Adams-Bashforth à $r +1$ pas s'écrit donc : ${\begin{cases}y_{n+1}&=y_{n}+\Delta t_{n}\sum _{i=0}^{r}f_{n-i}b_{n,i,r}\\t_{n+1}&=t_{n}+\Delta t_{n}\\f_{n+1}&=f(t_{n+1},y_{n+1}).\end{cases}}$ avec $b_{n,i,r}={\frac {1}{t_{n+1}-t_{n}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\,\mathrm {d} t.$

On remarque alors qu'à chaque étape, alors que les méthodes de Runge-Kutta demandaient plusieurs évaluations de $f$ à chaque étape, les méthodes d'Adams-Bashforth n'en nécessitent qu'une seule^[1].

Exemples

Le tableau suivant donne les valeurs des coefficients $b_{n,i,r}=\Delta t\ b_{i,r}$ dans le cas où le pas est constant :

$r$	$b_{0,r}$	$b_{1,r}$	$b_{2,r}$	$b_{3,r}$
0	1
1	${\tfrac {3}{2}}$	$-{\tfrac {1}{2}}$
2	${\tfrac {23}{12}}$	$-{\tfrac {16}{12}}$	${\tfrac {5}{12}}$
3	${\tfrac {55}{24}}$	$-{\tfrac {59}{24}}$	${\tfrac {37}{24}}$	$-{\tfrac {9}{24}}$

On reconnaît pour r=0 la méthode d'Euler.

Erreur de la méthode

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On peut vérifier que l'erreur de consistance d'une méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas satisfait : $|e_{n}|=\left|z(t_{n+1})-y_{n+1}\right|\leq \max _{[t_{0},t_{0}+T]}|z^{(r+2)}|\cdot \Delta t_{n}\cdot \max _{n}(\Delta t_{n})^{r+1}$ Il s'agit donc d'une méthode d'ordre r+1, pour peu que les r premières valeurs soient calculées par une méthode de Runge-Kutta d'ordre suffisant.

La stabilité de la méthode est cependant assez médiocre :

Théorème — Si f est k-lipschitzienne en y et qu'il existe une constante β_r indépendante de n vérifiant : $\sum _{i=0}^{r}|b_{n,i,r}|\leq \beta _{r}$ alors la méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas est stable, de constante de stabilité $\exp(\beta _{r}kT).$

Cependant, les valeurs de β_r augmentent avec r. Dans la pratique, on se limitera au cas r=1 ou 2, ou il faudra alors envisager une méthode à pas variable.

v · m Analyse numérique
Recherche de zéro	Méthode de Josephy-Newton Méthode de la sécante Méthode de Newton Point fixe
Transformations de matrice	Matrice de Hessenberg Décomposition LU Factorisation de Cholesky
Résolutions de systèmes	Méthode de Gauss-Seidel Méthode de surrelaxation successive (SOR) Méthode de Jacobi Décomposition QR Décomposition LU
Intégration numérique	Méthode du point médian Méthode des trapèzes Méthode de Simpson Méthodes de quadrature de Gauss Formule de Newton-Cotes Méthode de Romberg Méthode de Monte-Carlo
Équations différentielles	Méthode d'Euler (et semi-implicite) Méthode de Heun Méthodes de Runge-Kutta Intégration de Verlet Leapfrog Méthode linéaire à pas multiples (Adams-Bashforth, backward differentiation formula (en))
Interpolation numérique	Courbe de Bézier Surface de Bézier Spline B-spline NURBS Interpolation polynomiale Interpolation lagrangienne Interpolation newtonienne Interpolation d'Hermite Suite de polynômes orthogonaux Interpolation bilinéaire Interpolation bicubique

Méthodes d'Adams-Bashforth

Exemples

Erreur de la méthode

Références

Voir aussi

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