Métrique de Lemaître

Les coordonnées de Lemaître ${\displaystyle (T,R,\theta ,\phi )}$^{[3],[4],[N 1]} sont un système de coordonnées utilisées pour exprimer la métrique de Schwarzschild^[9]. Lemaître les a proposées en 1932^{[N 2]} dans L'Univers en expansion. Elles se sont avérées être un cas particulier des coordonnées de Novikov^[13].

La métrique de Schwarzschild, exprimée en coordonnées de Lemaître, est dite métrique de Lemaître^{[7],[14],[15]}. Elle est donnée par^{[16],[17],[18]} :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-{4 \over 9}\left[{9GM \over 2c^{2}\left(R-cT\right)}\right]^{2/3}\,{\rm {d}}R^{2}-\left[{9GM \over 2c^{2}}\left(R-cT\right)^{2}\right]^{2/3}\left({\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2}\right)}$,

où :

• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle M}$ est la masse.

Elle peut aussi s'écrire^[1] :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-{1 \over \left({3 \over 2R_{S}}\left(R-cT\right)\right)^{2/3}}\,{\rm {d}}R^{2}-\left({3 \over 2}\,\left(R-cT\right)\right)^{4/3}\,{R_{S}}^{2/3}\,\left({\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2}\right)}$

où :

• ${\displaystyle T}$ est la variable temps, qui est le temps propre de toute particule au repos dans ce référentiel en chute libre ;
• ${\displaystyle R}$ est la variable spatiale ; constante pour une particule immobile dans ce référentiel, donc en chute libre avec lui ;
• ${\displaystyle R_{S}}$ est le rayon de Schwarzschild.

Pour ${\displaystyle R-cT>0}$, les signes des coefficients de ${\displaystyle {\rm {d}}T^{2}}$ et ${\displaystyle {\rm {d}}R^{2}}$ montrent qu'il s'agit bien là de coordonnées respectivement partout temporelle et partout spatiale.

Ou, sous une forme simplifiée^[19] :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-{{\rm {d}}R^{2} \over B}-B^{2}{R_{S}}^{2}\left({\rm {d}}\,\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2}\right)}$

avec ${\displaystyle B=\left({3 \over 2R_{S}}\left(R-cT\right)\right)^{2/3}}$

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

L'idée^[1] est, à partir de la métrique de Schwarzschild, de déterminer des variables ${\displaystyle T}$ et ${\displaystyle R}$ vérifiant

${\displaystyle c\,{\rm {d}}T=c\,{\rm {d}}t+{f(r)\,{\rm {d}}r \over 1-{R_{S} \over r}}}$

et

${\displaystyle {\rm {d}}R=c\,{\rm {d}}t+{{\rm {d}}r \over f(r)\,\left(1-{R_{S} \over r}\right)}}$

et permettant d'éliminer la singularité du rayon de Schwarzschild.

En remplaçant dans la métrique de Schwarzschild, on obtient

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}={1-{R_{S} \over r} \over 1-f^{2}(r)}\,\left(c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-f^{2}(r)\,{\rm {d}}R^{2}\right)-r^{2}\,({\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2})}$

La singularité est éliminée pour ${\displaystyle f(r)={\sqrt {R_{S} \over r}}}$.

Par intégration, on obtient

${\displaystyle R-c\,T={2/3}\,{r^{3/2} \over {R_{S}}^{1/2}}}$,

d'où

${\displaystyle r=\left({3 \over 2}\,\left(R-c\,T\right)\right)^{2/3}\,{R_{S}}^{1/3}=B\,R_{S}}$,

et la métrique de Lemaître en remplaçant dans le ${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}}$ donné plus haut.

On obtient également^[19]:

${\displaystyle t={R_{S} \over c}\left(-{2 \over 3}B^{1/2}+\ln \left|{B^{1/2}+1 \over B^{1/2}-1}\right|+{R \over R_{S}}\right)}$,

toujours avec ${\displaystyle B=\left({3 \over 2R_{S}}\left(R-cT\right)\right)^{2/3}}$

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Dans un graphique où le temps ${\displaystyle T}$ est sur l'axe vertical, et la coordonnée spatiale ${\displaystyle R}$ est sur l'axe horizontal, une droite d'équation ${\displaystyle R-c\,T={\text{constante}}}$ correspond à la contrainte ${\displaystyle r=constant}$ sur la coordonnée ${\displaystyle r}$ de la métrique de Schwarzschild.

${\displaystyle R-c\,T=0}$ est la singularité ${\displaystyle r=0}$, présente dans toute métrique avec les conditions physiques imposées (car c'est une singularité de tenseur de courbure de l'espace-temps).

La contrainte ${\displaystyle r=R_{S}}$ correspond à ${\displaystyle R-c\,T={2 \over 3}\,R_{S}}$.

La métrique étant synchrone, une ligne de temps est une géodésique : pour une chute libre radiale (donc une évolution suivant la seule coordonnée ${\displaystyle r}$ de la métrique de Schwarzschild) les géodésiques sont les droites verticales, et sont parcourues dans le sens du temps ${\displaystyle T}$ croissant.

On montre, en prenant ${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=0}$, que pour la lumière

${\displaystyle {{\rm {d}}R \over c\,{\rm {d}}T}=\pm {\sqrt {r \over R_{S}}}}$,

ce qui donne les pentes du bords du cône de lumière du corps. Donc :

• si ${\displaystyle r>R_{S}}$, le cône de lumière du corps inclut la droite ${\displaystyle R-c\,T={\text{constante}}}$ sur laquelle est le corps car pour cette droite

${\displaystyle {{\rm {d}}R \over c\,{\rm {d}}T}=1\in \left]-{\sqrt {r \over R_{S}}};+{\sqrt {r \over R_{S}}}\right[}$

une orbite autour du trou noir est donc envisageable, voire un retour vers des valeurs croissantes de ${\displaystyle r}$ ;

• si ${\displaystyle r\leq R_{S}}$, le cône de lumière du corps n'inclut pas (strictement) la droite ${\displaystyle R-c\,T={\text{constante}}}$ sur laquelle est le corps, une orbite à l'intérieur du trou noir est donc inenvisageable, le corps est appelé à progresser vers les valeurs décroissantes de ${\displaystyle r}$ : la chute vers la singularité ${\displaystyle r=0}$ est inexorable et se fait en un temps propre ${\displaystyle T}$ fini^[1].

On remarque que ${\displaystyle r=R_{S}}$ n'est pas une singularité de cette métrique, mais correspond à une impossibilité de retour en arrière, ou même de position stationnaire pour un corps massif.