Nombre de Rayleigh

On peut définir le nombre de Rayleigh comme le produit du nombre de Grashof, reliant les effets de la force gravifique à la viscosité du fluide, et du nombre de Prandtl ^[1]:

${\displaystyle {Ra}={Gr}\cdot {Pr}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{\mathrm {s} }-T_{\infty }){L_{\mathrm {c} }}^{3}}$,

avec :

• ${\displaystyle {Gr}}$ : nombre de Grashof ;
• ${\displaystyle {Pr}}$ : nombre de Prandtl ;
• ${\displaystyle g}$ : accélération de la pesanteur (m/s²) ;
• ${\displaystyle {L_{\mathrm {c} }}}$ : longueur caractéristique (m) ;
• ${\displaystyle T_{\mathrm {s} }}$ : température de la paroi (K) ;
• ${\displaystyle T_{\infty }}$ : température du fluide loin de la paroi (K) ;
• ${\displaystyle \nu }$ : viscosité cinématique (m²/s) ;
• ${\displaystyle \alpha }$ : Diffusivité thermique (m²/s) ;
• ${\displaystyle \beta }$ : coefficient de dilatation thermique volumétrique (K⁻¹).

Le nombre de Péclet est défini de manière semblable au nombre de Rayleigh, mais le rapport concerne alors le transfert thermique par conduction et la convection forcée.

En géophysique, le nombre de Rayleigh a une importance capitale : aux échelles de temps géologiques, le manteau terrestre est un fluide dont le nombre de Rayleigh est estimé entre 10⁶ et 10⁸, donc bien supérieur à la valeur critique Ra_c (≈ 1 700), ce qui indique que ce manteau est parcouru de mouvements de convection (la convection mantellique).

Par analogie, il est possible de définir un Rayleigh massique, caractérisant le transfert d'une espèce chimique, par diffusion ou par convection naturelle, entre deux points de concentrations différentes. Si l'on note ${\displaystyle \Delta c}$ la différence de concentration (en mol)^[2],[3] :

${\displaystyle {Ra_{\mathrm {m} }}={\frac {g\beta ^{*}\Delta cL^{3}}{\nu D}}}$

où :

• ${\displaystyle g}$ : accélération de la pesanteur (m/s²) ;
• ${\displaystyle {L}}$ : longueur caractéristique (m) ;
• ${\displaystyle \nu }$ : viscosité cinématique (m²/s) ;
• ${\displaystyle D}$ : Coefficient de diffusion (m²/s) ;

et où ${\displaystyle \beta ^{*}}$ est le coefficient de dilatation (mol⁻¹) : ${\displaystyle \beta ^{*}={\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial c}}}$, ${\displaystyle \rho }$ étant la densité du fluide (${\displaystyle \rho _{0}}$ au repos), ${\displaystyle c}$ la concentration en espèce.