Plusieurs propriétés arithmétiques des nombres pandigitaux ont été étudiées, notamment en ce qui concerne la divisibilité et la décomposition en facteurs premiers.
Il existe 244 423 cas dans lesquels un nombre pandigital est un multiple entier d’un autre nombre pandigital. Ces cas forment souvent des chaînes de multiplications comportant plusieurs étapes successives, avec des facteurs identiques ou différents. Parmi ceux-ci
- 6 760 nombres pandigitaux initient une chaîne d’au moins deux étapes
- 68 initient une chaîne de trois étapes.
Le plus petit nombre premier qui n’est diviseur d’aucun nombre pandigital est 111 119. Toutefois, certains nombres premiers plus grands apparaissent comme diviseurs de nombres pandigitaux.
Le plus grand diviseur premier d’un nombre pandigital est 1 097 393 447 ; multiplié par 9, il donne le nombre pandigital 9 876 541 023.
Au total, il existe 87 carrés pandigitaux. Aucun cube pandigital ni aucun nombre pandigital possédant une racine entière d’ordre supérieur ne sont connus.
Seuls trois nombres pandigitaux ont une décomposition en facteurs premiers composée uniquement de puissances de nombres premiers à un chiffre (2, 3, 5 et 7) :
- 3.891.240.675 = 33 * 52 * 78
- 6.195.732.480 = 213 * 32 * 5 * 75
- 9.487.215.360 = 28 * 32 * 5 * 77
Pour tout entier naturel n, il existe un exposant maximal k tel que nk divise au moins un nombre pandigital, tandis que nk+1 ne divise aucun.
Par exemple, trois nombres pandigitaux sont divisibles par 221, mais aucun par 222 :
- 3.076.521.984 = 221 * 32 * 163
- 3.718.250.496 = 221 * 32 * 197
- 6.398.410.752 = 221 * 33 * 113
Pour 3, un seul nombre pandigital est divisible par 315, et aucun par 316 :
- 7 246 198 035 = 3¹⁵ × 5 × 101
Pour 4 comme carré de 2, on a les trois mêmes nombres nommés divisibles par 221 et un autre qui est divisible par 410 = 220 :
- 9.805.234.176 = 220 * 32 * 1039
De manière analogue, un seul nombre pandigital est divisible par 59, tandis que 510 n’apparaît pas:
- 9.123.046.875 = 33 * 59 * 173
Ce comportement s’étend à d’autres entiers. Par exemple, 13 nombres pandigitaux sont divisibles par 68, alors que 69 n’apparaît pas comme diviseur d’un nombre pandigital.
