Nombre tétraédrique

Comme le k-ième nombre triangulaire est égal à ${\displaystyle {k(k+1) \over 2}={\binom {k+1}{2}}}$, on a, d'après la formule d'itération de Pascal :

${\displaystyle P_{n}^{(3)}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {k+1}{2}}=\sum _{k=2}^{n+1}{\binom {k}{2}}={n+2 \choose 3}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$.

Ceci est en fait un cas particulier de la construction des nombres simpliciaux ; Le nombre tétraédrique ${\displaystyle P_{n}^{(3)}}$ est le n-ième nombre 3-simplicial ${\displaystyle S_{3}(n)}$.

On peut aussi obtenir ${\displaystyle P_{n}^{(3)}}$ à partir de la formule générale des nombres polyédriques réguliers :${\displaystyle P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {d(k-2)^{2}(d-2)}{2D}}n^{2}+{\frac {d(k-2)}{2}}n+1}$ où ${\displaystyle k=d=3,D=2(k+d)-kd=3}$, qui donne ${\displaystyle P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$, puis ${\displaystyle P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$.

Le n-ième nombre tétraédrique est le produit scalaire dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ de ${\displaystyle (1,\dots ,n)}$ par son renversé ${\displaystyle (n,\dots ,1)}$ :

${\displaystyle P_{n}^{(3)}=\sum _{k=1}^{n}k(n+1-k)=1\times n+2\times (n-1)+\cdots +(n-1)\times 2+n\times 1}$

La suite d'entiers ${\displaystyle (P_{n}^{(3)})}$, réduite modulo 2, est de période 4.

Les seuls nombres tétraédriques carrés sont^[1],[3] : P(3)
1 = 1 = 1², P(3)
2 = 4 = 2² et P(3)
48 = 19 600 = 140² : suite A003556 de l'OEIS.

Les seuls nombres tétraédriques triangulaires sont 1, 10, 120, 1540 et 7140 : suite A027568 de l'OEIS.

Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré est 1^[1],[4].

D'après la formule du binôme négatif, la fonction génératrice des nombres tétraédriques est égale à :

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{4}}}=x+4x^{2}+10x^{3}+20x^{4}+...}$