Noyau polynomial

Pour un polynôme de degré d, le noyau polynomial est défini comme^[2] :

${\displaystyle K(x,y)=(x^{\mathsf {T}}y+c)^{d}}$

où x et y sont des vecteurs dans l' espace d'entrée, c'est-à-dire des vecteurs de caractéristiques calculées à partir d'échantillons d'apprentissage ou de test, et c ≥ 0 est un paramètre libre équilibrant l'influence des termes d'ordre supérieur par rapport aux termes d'ordre inférieur dans le polynôme. Lorsque c = 0, le noyau est appelé homogène^[3]. (Un  noyau polynomial plus généralisé divise x^Ty par un paramètre scalaire a spécifié par l'utilisateur^[4].)

Comme noyau, K correspond à un produit scalaire dans un espace caractéristique basée sur une certaine application Φ :

${\displaystyle K(x,y)=\langle \phi (x),\phi (y)\rangle }$

La nature de Φ peut être vue à partir d'un exemple. Soit d = 2, nous obtenons donc le cas particulier du noyau quadratique. Après avoir utilisé le théorème multinôme de Newton (deux fois de l'application externe est le théorème du binôme de newton) et le regroupement,

${\displaystyle K(x,y)=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+c\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}\right)\left(y_{i}^{2}\right)+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}\left({\sqrt {2}}x_{i}x_{j}\right)\left({\sqrt {2}}y_{i}y_{j}\right)+\sum _{i=1}^{n}\left({\sqrt {2c}}x_{i}\right)\left({\sqrt {2c}}y_{i}\right)+c^{2}}$

il resulte que la fonctionnalité de l'application est donnée par :

${\displaystyle \varphi (x)=\langle x_{n}^{2},\ldots ,x_{1}^{2},{\sqrt {2}}x_{n}x_{n-1},\ldots ,{\sqrt {2}}x_{n}x_{1},{\sqrt {2}}x_{n-1}x_{n-2},\ldots ,{\sqrt {2}}x_{n-1}x_{1},\ldots ,{\sqrt {2}}x_{2}x_{1},{\sqrt {2c}}x_{n},\ldots ,{\sqrt {2c}}x_{1},c\rangle }$

Bien que le noyau RBF soit plus populaire dans la classification SVM que le noyau polynomial, ce dernier est très populaire dans le traitement automatique du langage naturel (NLP)^[1],[5]. Le degré le plus commun est d = 2 (quadratique), car les grands degrés tendent à surapprendre sur les problèmes de NLP.

Différentes manières de calculer le noyau polynomial (à la fois exacte et approchée) ont été conçues comme des alternatives à l'usage des algorithmes de formation SVM non-linéaire, y compris :

• la pleine expansion du noyau avant l'apprentissage/test avec un SVM linéaire^[5], c'est-à-dire le calcul complet de l'application Φ comme dans la régression polynomiale ;
• Règle d'association (à l'aide d'une variante de  l'algorithme apriori) pour les plus fréquentes conjonctions de fonctionnalité en un ensemble de formation afin de produire une évaluation approximative de l'expansion^[6] ;
• Index inversé des vecteurs de support^[6],[1].

Un problème avec le noyau polynomial est qu'il peut souffrir d'instabilité numérique : lorsque x^Ty + c < 1, K(x, y) = (x^Ty + c)^d tend vers zéro avec l'augmentation de d, alors que quand x^Ty + c > 1, K(x, y) tend vers l'infini^[4].

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