Onde sur une corde vibrante

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Considérons une corde maintenue par ses deux extrémités^[1]. Dans le mode de vibration le plus simple, dit « fondamental », elle forme à chaque instant un arc, et la flèche de cet arc varie de manière périodique (la courbure augmente, puis diminue, puis s'inverse, puis augmente dans l'autre sens…).

On peut donc définir une fréquence f de vibration, et l'on remarque que cette fréquence dépend de la masse linéique de la corde (notée μ) ; de la force avec laquelle on tend cette corde (tension notée T) ; et de la longueur de la corde (notée L).

Si l'on cherche l'influence de chaque paramètre, qualitativement :

• plus la corde est légère (μ est faible), plus la fréquence est élevée (c'est la raison pour laquelle les cordes aiguës d'un instrument sont plus fines) ;
• plus la corde est tendue, plus la fréquence de vibration est élevée (d'un point de vue acoustique, la note s'élève lorsqu'on tend la corde) ;
• plus la corde est longue, plus la fréquence est basse (et donc pour un instrument plus le son est grave).

Attention, dans cet article, à ne pas confondre ν, la fréquence désignée par la lettre grecque nu, et ${\displaystyle v}$, la vitesse de propagation de l'onde, parfois désignée aussi par ${\displaystyle c}$.

Les quatre grandeurs physiques identifiées comme intervenant dans le phénomène de la corde vibrante ont respectivement pour dimension :

• ν (fréquence) en s⁻¹ ;
• μ (masse linéique) en kg⋅m⁻¹ ;
• T (tension mécanique) en kg⋅m⋅s⁻² ;
• L (longueur) en m.

D'après le théorème de Vaschy-Buckingham, comme ces quatre variables physiques intervenant dans la loi du phénomène dépendent de trois grandeurs fondamentales, il est possible de construire une équation équivalente mettant en jeu une variable sans dimension construite à partir des variables originelles. On voit rapidement qu'une telle variable, représentée ici par la lettre grecque kappa, est :

${\displaystyle \kappa _{1}={T \over \mu \cdot L^{2}\cdot \nu ^{2}}\qquad }$ soit de manière équivalente : ${\displaystyle \quad \nu ={\kappa _{2} \over L}{\sqrt {T \over \mu }}}$

On remarque que l'expression ${\displaystyle {\sqrt {T \over \mu }}}$ a les dimensions d'une vitesse: c'est la vitesse de propagation de l'ébranlement le long de la corde. La fréquence de vibration de la corde est donc proportionnelle à ${\displaystyle v}$, la vitesse de propagation le long de la corde, et inversement proportionnelle à sa longueur.

${\displaystyle \quad \nu =\kappa _{2}{v \over L}}$

La constante notée κ₂ est ici une constante sans dimension qui ne peut pas être déterminée par la seule analyse dimensionnelle. L'analyse plus détaillée ci-dessous montre que le phénomène admet en réalité toute une famille de vibrations propres, de type κ₂ = n/2 où n est un entier quelconque. La fréquence fondamentale est donc celle pour laquelle κ₂ = 1/2.

Sur un instrument, chaque corde a une masse linéique différente, et l'on ajuste la tension pour accorder. Pour jouer, on joue sur le choix de la corde, et lorsque l'instrument a un manche, sur la longueur de la corde en pinçant la corde contre le manche avec le doigt.

En ce qui concerne la longueur : la fréquence varie comme l'inverse de la longueur. Ainsi, si l'on divise la longueur par deux, on multiplie la fréquence par deux c'est-à-dire que l'on monte d'une octave. On remarque ainsi que la douzième frette d'une guitare se trouve au milieu de la corde (puisqu'une octave fait douze demi-tons dans la gamme tempérée).

Mais une corde peut vibrer d'autres manières : si les extrémités restent fixes, la forme qu'elle prend peut avoir deux, trois… n arcs tête-bêche. On parle de « mode de vibration ». Si l'on est au mode n, on a donc n arcs, et chaque arc a pour longueur L/n. Il vibre donc avec une fréquence n fois plus élevée que la fondamentale. C'est ainsi qu'une corde peut émettre des sons de plusieurs hauteurs différentes.

En fait, la vibration réelle est une combinaison linéaire des différents modes ; on parle d'« harmoniques ». L'amplitude des différentes harmoniques est une caractéristique de l'instrument, et détermine sa sonorité (son « timbre »).

Ce n'est pas uniquement la vibration de la corde qui importe, mais celle de tout l'instrument, en particulier de la caisse de résonance.

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Tout ce qui suit suppose que la corde sonore est sans raideur et de diamètre nul, ce qui n'est jamais rigoureusement vérifié. Pour la présentation des effets de raideur, voir : Inharmonicité du piano.

La corde initialement au repos occupe un segment le long de l'axe des x. Elle est tendue avec une tension T (force) appliquée à ses deux extrémités. On déforme la corde dans la direction y et on la lâche. On note y(x,t) le déplacement de la corde à l'abscisse x et à l'instant t. Notons ${\displaystyle \alpha }$ l'angle de la tangente à la corde et de l'axe Ox au point d'abscisse x.

Aux extrémités du segment, on a les forces de tension ${\displaystyle {\vec {F_{1}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {F_{2}}}}$ de norme (module) T et de sens opposés qui s'exercent tangentiellement à la corde. Le poids, suivant l'axe y, est considéré comme négligeable par rapport aux forces de tension.

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{1}}}=-T\cdot \cos(\alpha (x,t)){\overrightarrow {e_{x}}}-T\cdot \sin(\alpha (x,t)){\overrightarrow {e_{y}}}=-T\cdot \cos(\alpha (x,t))({\overrightarrow {e_{x}}}+\tan \alpha (x,t){\overrightarrow {e_{y}}})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {F_{2}}}=T\cdot \cos(\alpha (x+\mathrm {d} x,t)){\overrightarrow {e_{x}}}+T\cdot \sin(\alpha (x+\mathrm {d} x,t)){\overrightarrow {e_{y}}}&=T\cdot \cos \alpha (x+\mathrm {d} x,t)({\overrightarrow {e_{x}}}+\tan \alpha (x+\mathrm {d} x,t){\overrightarrow {e_{y}}})\end{aligned}}}$$

On suppose la déformation petite, de sorte que l'angle α est toujours petit. Dans ce cas :

${\displaystyle \cos(\alpha (x,t))\simeq 1}$ ${\displaystyle \cos(\alpha (x+\mathrm {d} x,t))\simeq 1}$

Sachant que

${\displaystyle \tan(\alpha )={\partial y \over \partial x}(x,t)}$

L'expression de ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{1}}}}$ et de ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{2}}}}$devient :

${\displaystyle {\overrightarrow {F_{1}}}=-T\left({\overrightarrow {e_{x}}}+{\partial y \over \partial x}(x,t){\overrightarrow {e_{y}}}\right)}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {F_{2}}}=+T\left({\overrightarrow {e_{x}}}+{\partial y \over \partial x}(x+\mathrm {d} x,t){\overrightarrow {e_{y}}}\right)}$

D'où :

${\displaystyle {\overrightarrow {\Delta F}}={\overrightarrow {F_{2}}}+{\overrightarrow {F_{1}}}=T\left({\partial y \over \partial x}(x+\mathrm {d} x,t)-{\partial y \over \partial x}(x,t)\right){\overrightarrow {e_{y}}}}$

Par le théorème de Taylor limité au 1^er ordre (dx est supposé très petit) on obtient :

${\displaystyle {\overrightarrow {\Delta F}}=T\left({\partial y \over \partial x}(x+\mathrm {d} x,t)-{\partial y \over \partial x}(x,t)\right)\mathrm {\cdot } {\overrightarrow {e_{y}}}=T{\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}(x,t)\mathrm {d} x\cdot {\overrightarrow {e_{y}}}}$

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au morceau de corde de longueur dx, on a:

${\displaystyle {\overrightarrow {\Delta F}}=\mathrm {d} m\cdot {\overrightarrow {a}}=\mu \cdot \mathrm {d} x{\overrightarrow {a}}=\mu {\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}(x,t)\mathrm {d} x\cdot {\overrightarrow {e_{y}}}}$

soit

${\displaystyle T{\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}(x,t)=\mu {\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}(x,t)}$

En définissant par ${\displaystyle v={\sqrt {\tfrac {T}{\mu }}}}$, la vitesse de propagation de la perturbation le long de la corde. L'équation de d'Alembert s'écrit alors

${\displaystyle {\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}}$

Cette équation est historique. C'est une des toutes premières équations aux dérivées partielles^[2]. Elle a été présentée par d'Alembert en 1747 devant l'Académie Royale des Sciences de Berlin^[3]. C'est une équation d'onde qui, étendue aux trois dimensions de l'espace, sera appliquée à la propagation du son puis à la propagation des ondes électromagnétiques.

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En supposant la corde infinie, une solution possible de l'équation d'onde est : ${\displaystyle y(x,t)=f(x-vt)}$ où f est une fonction arbitraire d'une variable qui est x – vt.

Remarque : ${\displaystyle y(x,t)=f(x+vt)}$ est aussi une solution acceptable, mais correspond à une onde se propageant dans le sens des x négatifs.

L'équation est en effet satisfaite pour tout f. En particulier, si on pose t = 0, on a la déformation initiale de la corde :

${\displaystyle f(x)=y(x,0)}$

À l'instant t₁, on retrouve la même forme mais déplacée en vt₁.

La déformation s'est propagée de vt₁ pendant le temps t₁, avec une vitesse v, sans subir de déformation.

Si, à l'instant t = 0, on a affaire à une déformation de type sinusoïdale :

${\displaystyle f(x)=A\cos \left(2\pi {x \over \lambda }\right)}$

où λ est la longueur d'onde, on trouve à chaque instant :

${\displaystyle y(x,t)=A\cos \left(2\pi {x-vt \over \lambda }\right)}$

que l'on peut ré-écrire sous la forme :

${\displaystyle y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)=\Re \left[A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}\right]}$

où ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$ est le nombre d'onde et ${\displaystyle \omega ={2\pi \nu }}$ est la pulsation.

La fréquence est donnée directement avec la vitesse par ${\displaystyle \nu ={\tfrac {v}{\lambda }}}$ et ${\displaystyle \omega =kv}$.