Ordre dense

Notion mathématique relative aux relations d'ordre From Wikipedia, the free encyclopedia

La notion d'ordre dense est une notion de mathématiques, en lien avec la notion de relation d'ordre.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Ensemble ordonné dense en lui-même

Définition

Un ensemble ordonné (E, ≤) est dit dense en lui-même, ou plus simplement dense, si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x < y il existe un élément z de E tel que x < z < y.

Par exemple, tout corps totalement ordonné est dense en lui-même alors que l'anneau ℤ des entiers relatifs ne l'est pas.

Propriétés

Cantor a démontré que tout ensemble totalement ordonné, dénombrable et dense en lui-même sans maximum ni minimum est isomorphe[1] à l'ensemble ℚ des rationnels muni de l'ordre usuel : voir l'article « Théorème de Cantor (théorie des ordres) ». C'est notamment le cas, toujours pour l'ordre usuel, de ℚ*, de ℚ+*, de ℚ ⋂ ]0,1[, de l'ensemble des nombres dyadiques, ou encore celui des nombres réels algébriques.

Sous-ensemble dense d'un ensemble ordonné

Définition

Un sous-ensemble X d'un ensemble ordonné (E, ≤) est dit dense dans E si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x < y, il existe un élément z de X tel que x < z < y (donc une infinité).

Exemples

La notion d'ensemble ordonné dense en lui-même n'est que le cas particulier où X = E.

Dans le segment réel [0, 1] (muni de l'ordre usuel), l'intervalle ouvert ]0, 1[ est dense. De même (par isomorphisme d'ensembles ordonnés) dans la droite réelle achevée ℝ = {–∞}∪ℝ∪{+∞}, ℝ est dense.

Dans tout corps archimédien, le sous-ensemble ℚ des rationnels est dense et dans tout corps totalement ordonné L, si un sous-corps propre K ⊊ L est dense alors son complémentaire L\K aussi. (Ainsi, ℚ et ℝ\ℚ sont denses dans le corps ℝ des réels[2].)

Démonstration
  • Entre deux éléments a < b d'un corps archimédien, il existe toujours un rationnel. Il existe un entier q > 1/(b – a), qui vérifie donc : q > 0 et qb – qa > 1. En choisissant alors pour p le plus petit entier relatif qui majore strictement qa (c'est l'entier 1 + ⌊qa⌋), on obtient : qa < p ≤ qa + 1, d'où qa < p < qb, puis a < p/q < b.
  • Si un sous-corps propre K ⊊ L est dense alors son complémentaire aussi. Soit α un élément positif de L\K. Par hypothèse, il existe un élément non nul r de K compris entre a/α et b/α. L'élément rα de L\K est alors compris entre a et b.

Lien avec la topologie

Si E est un ensemble ordonné, les intervalles ouverts forment une prébase d'une topologie appelée « topologie de l'ordre ».

Dans ce cas, un sous-ensemble X de E qui est dense au sens précédent de la relation d'ordre est bien dense dans E au sens de cette topologie. Cependant, la réciproque est fausse : un ensemble ordonné est toujours dense dans lui-même pour la topologie de l'ordre (comme pour n'importe quelle topologie) sans être nécessairement dense en lui-même pour sa relation d'ordre, comme le montre l'exemple de ℤ pour l'ordre usuel.

Notes et références

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