Paradoxe du train

Considérons un train PQ de longueur propre L, P étant l'avant et Q l'arrière. Si on choisit l'arrière du train comme origine des coordonnées spatiales dans ce repère, les abscisses des extrémités sont :

${\displaystyle {\begin{cases}\,x'_{P}=L\\x'_{Q}=0\,.\end{cases}}}$

Considérons maintenant un tunnel ES de même longueur L que le train mesurée dans le repère fixe. E est l'entrée du tunnel, S la sortie. Dans ce repère « fixe », l'entrée du tunnel est prise comme origine des coordonnées spatiales de sorte que les abscisses de E et S sont

${\displaystyle {\begin{cases}\,x_{E}=0\\x_{S}=L\,.\end{cases}}}$

Le temps dans le repère du train sera mesuré par la quantité t ’, et dans le repère de la voie par la quantité t.

L'événement « émission du signal B », celui qui marque la coïncidence du point Q avec E, c'est-à-dire l'entrée de l'arrière du train dans le tunnel) sera pris comme origine des coordonnées. Par convention on a donc :

${\displaystyle \,x_{B}=t_{B}=x'_{B}=t'_{B}=0\,.}$

L'événement « émission du signal A », qui marque la coïncidence de P avec S, c'est-à-dire la sortie de l'avant du train, est déterminé par

${\displaystyle x_{A}=x'_{A}=L\,.}$.

Si la vitesse du train est v par rapport aux observateurs fixes situés sur la voie ferrée, les formules de Lorentz, qui permettent de passer des coordonnées (x ’, t ’) mesurées dans le train aux coordonnées (x, t ) mesurées sur la voie, s'écrivent :

${\displaystyle {\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta x')\\x=\gamma (x'+\beta ct')\end{cases}}}$

où β et γ sont les quantités usuelles

${\displaystyle \beta \,=\,v/c}$   et   ${\displaystyle \gamma \,=[1-(v^{2}/c^{2})]^{-1/2}\equiv 1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\,.}$

D'après les formules précédentes, les coordonnées des extrémités P et Q du train dans le repère de la voie ferrée s'expriment sous la forme :

${\displaystyle {\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta L)\\x_{P}=\gamma (L+\beta ct')\end{cases}}}$

et

${\displaystyle {\begin{cases}ct=\gamma (ct')\\x_{Q}=\gamma (\beta ct')\,.\end{cases}}}$

En éliminant t ' dans ces équations on aboutit à l'équation du mouvement de P et Q dans le repère fixe de la voie :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{P}=vt+L{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\equiv vt+L/\gamma \\x_{Q}=vt\,.\end{cases}}}$

Incidemment on retrouve le facteur de contraction des longueurs de Lorentz 1/γ en vérifiant qu'au même instant t (par exemple en t = 0) la différence (x_P - x_Q), qui représente la longueur du train dans le repère fixe, est égale à L /γ.

Les équations précédentes fournissent alors les coordonnées temporelle et spatiale de l'événement A comme

${\displaystyle t_{A}=(L/v)(1-\gamma ^{-1})\equiv (L/v)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)\ ,\ x_{A}=L}$

Comme annoncé on constate que depuis la voie l'instant t _A du signal A de sortie du tunnel est postérieur à l'instant du signal indiquant l'entrée dans le tunnel de la queue du train (le train est plus court que le tunnel). La différence de temps entre les deux événements A et B est

${\displaystyle \Delta t=(L/v)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)}$

Lorsque β est assez petit on peut développer l'expression au premier ordre pour obtenir

${\displaystyle \Delta t\simeq Lv/(2c^{2})\,.}$

Comment les choses se mesurent-elles dans le repère du train ? Les formules inverses permettant de passer des coordonnées fixes aux coordonnées mobiles (pour dire les choses rapidement) sont :

${\displaystyle {\begin{cases}ct'=\gamma (ct-\beta x)\\x'=\gamma (x-\beta ct)\end{cases}}}$

Après un calcul identique au précédent on obtient les coordonnées de l'événement A dans le repère du train comme

${\displaystyle t'_{A}=-(L/v)(1-\gamma ^{-1})\equiv -(L/v)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)\ ,}$

On constate que l'ordre temporel des événements est inversé dans le repère du train par rapport au repère de la voie. Maintenant t ’_A est négatif, ce qui signifie que l'avant du train sort du tunnel avant que l'arrière y soit entré (pour les voyageurs le tunnel est plus court que le train). La situation est parfaitement symétrique puisque

${\displaystyle t'_{A}=-t_{A}\ .}$

Tout est cohérent. Le paradoxe du train dans le tunnel n'est pas signe que la relativité restreinte serait fausse.

Revenons enfin à la question de savoir si la bombe prête à exploser quand le train sort du tunnel le fera ou non. Calculons à cet effet le carré de l'intervalle spatio-temporel

${\displaystyle \,c^{2}\Delta \tau ^{2}=c^{2}t_{A}^{2}-L^{2}=c^{2}{t'_{A}}^{2}-L^{2}\,.}$

On trouve

${\displaystyle \,c^{2}\Delta \tau ^{2}=-2(L^{2}/\beta ^{2}){\sqrt {1-\beta ^{2}}}\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)<0\,.}$

Cette quantité est le fameux invariant de la relativité restreinte, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas du repère dans lequel on la calcule. Elle reste notamment négative quel que soit le repère considéré, ce qui montre que les deux événements A et B ne peuvent pas être liés par un lien de cause à effet, dans aucun repère. L'intervalle d'espace-temps entre les deux événements A et B est dit du « genre espace ».

Vérifions directement en faisant le calcul dans le repère de la voie que le signal de désamorçage B n'a pas le temps d'atteindre l'avant du train avant l'explosion de la bombe. Le temps nécessaire pour que le signal (voyageant à la vitesse c) aille de l'arrière à l'avant est

${\displaystyle \,t_{\text{voulu}}=L/c\,,}$

tandis que le temps disponible est

${\displaystyle \,t_{\text{dispo}}=t_{A}=L/(\beta c)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)\,.}$

On constate que

${\displaystyle \,t_{\text{dispo}}-\,t_{\text{voulu}}=L/(\beta c)\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}-\beta \right)={\frac {L}{\beta c}}{\sqrt {1-\beta }}\left({\sqrt {1-\beta }}-{\sqrt {1+\beta }}\right)<0}$

Le fait que le temps disponible soit inférieur au temps nécessaire signifie bien que le signal B n'a pas le temps d'atteindre la bombe pour la désamorcer avant qu'elle explose.

Dans les deux repères la conclusion est la même : les deux événements « explosion de la bombe » et « envoi du signal de désamorçage » sont causalement indépendants. Par conséquent les passagers du train comme les observateurs fixes de la voie concluent que la bombe explosera.