Permutation avec répétition

Le nombre de permutations à ${\displaystyle n}$ éléments avec ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}}$ répétitions est égal à ${\displaystyle {\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\ldots n_{k}!}}}$.

Ce nombre se note habituellement ${\displaystyle {\binom {n}{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}}}$, et est connu sous le nom de coefficient multinomial.

Une démonstration est disponible via le lien (voir infra) vers Wikiversité.

${\displaystyle {\begin{matrix}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})^{n}=&\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})\ldots (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})} \\&{}_{n{\rm {\,fois}}}\end{matrix}}}$.

Le développement de ce produit de facteurs est une somme de produits qui peuvent être représentés par un n-uplet d'éléments ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}}$ dans lequel pour tout ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant k}$, un terme du i-ième facteur se trouve à la i-ème place.

Pour tout ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant k}$, on note ${\displaystyle n_{i}}$ le nombre de fois où ${\displaystyle x_{i}}$ apparaît dans un tel n-uplet. On a

${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}=n}$.

Sous réserve que la loi × soit commutative (ou plus généralement que les ${\displaystyle x_{i}}$ commutent pour la loi ×), le produit correspondant à un tel n-uplet est égal à

${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{k}^{n_{k}}}$.

Étant donnés les entiers naturels ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}}$ tels que ${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}=n}$, le nombre de termes de la forme ${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{k}^{n_{k}}}$ est le nombre de permutations à ${\displaystyle n}$ éléments avec ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}}$ répétitions.

On en déduit la formule du multinôme de Newton :

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})^{n}=\sum _{n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}=n}{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{k}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{k}^{n_{k}}}$

(qui inclut, pour ${\displaystyle k=2}$, la formule du binôme).

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