Permutation circulaire

Si ${\displaystyle c}$ est un ${\displaystyle k}$-cycle, ses puissances successives vérifient d'une part

${\displaystyle \forall i,1\leqslant i<k,\;c^{i}\neq {\rm {Id}}}$,

et d'autre part ${\displaystyle c^{k}={\rm {Id}}}$.

Autrement dit, ${\displaystyle c}$ est d'ordre ${\displaystyle k}$, ou encore ${\displaystyle c}$ engendre un groupe cyclique d'ordre ${\displaystyle k}$.

En revanche, les puissances de ${\displaystyle c}$ ne sont pas toutes à proprement parler des permutations circulaires (même si ce sont encore des décalages circulaires). Par exemple si ${\displaystyle c=(1~2~3~4)}$ alors ${\displaystyle c^{2}=(1~3)(2~4)}$ est un produit de deux permutations circulaires d'ordre 2 (des transpositions). Plus précisément, ${\displaystyle c^{i}}$ est une permutation circulaire si et seulement si ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle k}$ sont premiers entre eux^[1].

Un ${\displaystyle k}$-cycle est :

• une permutation paire si ${\displaystyle k}$ est impair ;
• une permutation impaire si ${\displaystyle k}$ est pair.

Une démonstration est fournie dans l'article sur la signature d'une permutation. Une autre méthode consiste à exhiber une décomposition de la permutation en transpositions^[2] :

${\displaystyle (a_{1}~a_{2}~\dots ~a_{k-1}~a_{k})=(a_{1}~a_{2})\circ (a_{2}~a_{3})\circ \cdots \circ (a_{k-1}~a_{k})}$.

La permutation est donc la composée de k – 1 transpositions.

La conjuguée d'une permutation circulaire d'ordre ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle c=(a_{1}~\ldots ~a_{k})}$ par une permutation ${\displaystyle \sigma }$, est la permutation ${\displaystyle \sigma \circ c\circ \sigma ^{-1}}$. Il s'agit encore d'un ${\displaystyle k}$-cycle :

${\displaystyle \sigma \circ c\circ \sigma ^{-1}=(\sigma (a_{1})~\sigma (a_{2})~\dots ~\sigma (a_{k}))}$

et réciproquement, tout ${\displaystyle k}$-cycle peut s'écrire sous cette forme en choisissant convenablement ${\displaystyle \sigma }$, ce qui signifie que la classe de conjugaison (ensemble des conjuguées) d'un ${\displaystyle k}$-cycle ${\displaystyle c}$ est l'ensemble de tous les ${\displaystyle k}$-cycles (pour une généralisation, voir le § « Classes de conjugaison » de l'article sur le groupe symétrique).

Dans le groupe symétrique ${\displaystyle S_{n}}$, les ${\displaystyle k}$-cycles sont au nombre de

${\displaystyle {n \choose k}{\frac {k!}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k}}.}$

D'après la formule des classes, le centralisateur de ${\displaystyle c}$ est donc d'ordre ${\displaystyle (n-k)!k}$. Il est par conséquent réduit à l'ensemble des produits, par l'une des ${\displaystyle k}$ puissances de ${\displaystyle c}$, de l'une des ${\displaystyle (n-k)!}$ permutations de support disjoint de celui de ${\displaystyle c}$.

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