Pierre François Verhulst

Verhulst étudia les mathématiques sous la direction de Quetelet à l'Athénée royal de Bruxelles puis à l'université de Gand. À vingt ans, il remporta le prix scientifique de l'Université de Leyde pour un mémoire sur « le problème des maxima et minima », puis l'année suivante le prix de la Faculté des Sciences de Gand pour un mémoire sur le calcul des variations^[2]. Sa thèse, soutenue en 1825, portait sur la résolution des équations binomiales^[1].

Il retrouva ensuite son maître Quételet qui l'invita à appliquer ses connaissances mathématiques aux statistiques et à la démographie. Atteint de tuberculose, il partit en convalescence dans les États pontificaux en 1830. Il donnait quelques conférences au Musée des Sciences de Bruxelles lorsqu'en 1834 il obtint la chaire d’analyse mathématique de l'École royale militaire de Belgique. Cette position financière stable lui permit de s'attaquer à la rédaction d'un Traité des fonctions elliptiques qui ferait la synthèse des recherches menées depuis cinquante ans par Legendre, Abel et Jacobi. L'ouvrage, paru en 1841, fut suivi de son élection à l'Académie des Sciences de Belgique^[1].

Les solutions de ce modèle sont, en temps continu, des fonctions logistiques d'équation :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$, où

• P est une variable dans le temps t représentant l’effectif de la population,
• r est le « taux de croissance maximum^[3] », et
• le paramètre K est appelé la « capacité porteuse ».

En divisant des deux côtés par K et en définissant x tel que x=P/K, l’équation s’écrit alors^[4] :

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)}$

ce qui est la forme la plus connue de la fonction logistique.

Cette équation à variables séparées est le fondement du modèle évolutif r/K. Elle sera étendue au cas de deux populations en compétition un siècle plus tard par le mathématicien italien Vito Volterra.