Plan euclidien

Les applications ${\displaystyle +,\cdot {\text{ et }}(.|.)}$de ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{2},+,.,(.|.)\right)}$, couramment appelées addition, produit externe et produit scalaire, sont définies par

${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},((x,y),(x',y'))\mapsto (x+x',y+y')}$;

${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},(\lambda ,(x,y))\mapsto (\lambda x,\lambda y)} ;

${\displaystyle (.|.):\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ;\left((x,y),(x',y')\right)\mapsto xx'+yy'} .

Le produit scalaire permet de définir la structure topologique d'espace métrique du plan euclidien.

Ce plan est identifié au plan complexe, où l'on a défini en plus un produit interne

${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\left((x,y),(x',y')\right)\mapsto (xx'-yy',xy'+yx')} .

Un repère orthonormé de ce plan est constitué d'un point origine et de deux vecteurs orthogonaux de norme 1. Il est utilisé par exemple pour la représentation graphique de courbes planes.