Variété torique

Soit ${\displaystyle K}$ un corps algébriquement clos. Un tore est une variété algébrique isomorphe à ${\displaystyle (K^{\times })^{n}}$ c'est-à-dire à${\displaystyle {\text{Spec}}(K[X_{1}^{\pm 1},\dots ,X_{n}^{\pm 1}])}$. Une variété torique ${\displaystyle X}$ est une variété algébrique munie d'une action d'un tore ${\displaystyle T\times X\rightarrow X}$ qui soit un morphisme et d'orbite dense.

Certains auteurs requièrent que la variété soit aussi normale (en).

Le plan projectif complexe ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ possède une structure de variété torique pour l'action du tore ${\displaystyle T=\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$ donnée par ${\displaystyle (t_{1},t_{2})\cdot [z_{0}:z_{1}:z_{2}]=[z_{0}:t_{1}z_{1}:t_{2}z_{2}]}$, d'orbite dense ${\displaystyle T\cdot [1:1:1]=\{[1:t_{1}:t_{2}]\,:\,(t_{1},t_{2})\in T\}}$.

Soient un monoïde commutatif ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset S}$ un ensemble fini, on note :

${\displaystyle \mathbb {N} {\mathcal {A}}=\{\sum _{m\in {\mathcal {A}}}n_{m}m\,;\,n_{m}\in \mathbb {N} \}.}$

Un monoïde ${\displaystyle S}$ est dit finiment engendré s'il existe un tel ensemble fini ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ vérifiant ${\displaystyle \mathbb {N} {\mathcal {A}}=S}$. Un monoïde commutatif peut être plongé dans un réseau ${\displaystyle M}$, inversement étant donné un réseau ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ un ensemble fini, ${\displaystyle \mathbb {N} {\mathcal {A}}}$ est un monoïde commutatif. On définit l'algèbre de monoïde ${\displaystyle K[S]}$ d'un monoïde commutatif ${\displaystyle S}$ comme les fonctions ${\displaystyle S\rightarrow K}$ à support fini, la structure d'espace vectoriel est donnée par ${\displaystyle (\lambda f+g)(s)=\lambda f(s)+g(s)}$ et le produit est définit par,

${\displaystyle (fg)(s)=\sum _{t,u\in S \atop s=t+u}f(t)g(u).}$

Un monoïde ${\displaystyle S}$ est dit affine s'il est commutatif, finiment engendré et sans torsion, dans ce cas ${\displaystyle Y_{S}={\text{Spec}}(K[S])}$ est une variété torique affine, et toute variété torique affine est de cette forme^[1].

Soient ${\displaystyle N}$ un réseau, ${\displaystyle M=N^{\vee }={\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Z} )}$. Et les espaces vectoriels réels ${\displaystyle N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ et ${\displaystyle M_{\mathbb {R} }=M\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$, et l'appariement ${\displaystyle \langle .,.\rangle :M_{\mathbb {R} }\times N_{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbb {R} }$, où ${\displaystyle \langle w,v\rangle =w(v)}$. Un cône convexe polyédral dans ${\displaystyle N_{\mathbb {R} }}$ est un ensemble :

${\displaystyle \sigma =\left\{\sum _{u\in S}r_{u}u\,;\,r_{u}\in \mathbb {R} _{+}\right\},}$

Où ${\displaystyle S\subset N_{\mathbb {R} }}$ est un ensemble fini. On dit que ${\displaystyle \sigma }$ est engendré par ${\displaystyle S}$. Le cône dual est définit par :

${\displaystyle \sigma ^{\vee }=\left\{m\in M_{\mathbb {R} }\,;\,\langle m,u\rangle \geq 0,\forall u\in \sigma \right\}}$

C'est encore un cône polyédral convexe. Soit ${\displaystyle m\in M_{\mathbb {R} }\setminus \{0\}}$ et l'hyperplan définit ${\displaystyle H_{m}=\{u\in N_{\mathbb {R} }\,;\,\langle m,u\rangle =0\}}$. Les faces d'un cône polyédral convexe sont les parties de ${\displaystyle \sigma }$ contenues dans de tels hyperplan : ${\displaystyle \tau =H_{m}\cap \sigma }$ pour ${\displaystyle m\in \sigma ^{\vee }}$. On note généralement ${\displaystyle \tau \preccurlyeq \sigma }$. Un cône ${\displaystyle \sigma }$ est dit strictement convexe si ${\displaystyle \sigma \cap (-\sigma )=0}$ et rationnel si les générateurs peuvent être choisis directement dans ${\displaystyle N}$.

Soit ${\displaystyle \sigma }$ un cône polyédral convexe, on pose ${\displaystyle S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap M}$. Ainsi définit ${\displaystyle S_{\sigma }}$ est un monoïde commutatif finiment engendré. Soit ${\displaystyle \sigma \subset N_{\mathbb {R} }}$ un cône polyédral convexe rationnel strictement convexe , alors ${\displaystyle U_{\sigma }={\text{Spec}}(K[S_{\sigma }])}$ est une variété torique affine normale. Et toute variété torique affine normale est de cette forme^[2].

Un éventail est un ensemble de fini ${\displaystyle \Sigma }$ de cônes polyédraux strictement convexes et rationnels de ${\displaystyle N_{\mathbb {R} }}$ vérifiant que :

• Pour tout ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$, toutes les faces de ${\displaystyle \sigma }$ sont dans ${\displaystyle \Sigma }$.
• Pour tous ${\displaystyle \sigma ,\sigma '\in \Sigma }$, ${\displaystyle \sigma \cap \sigma '}$ est une face de ${\displaystyle \sigma }$ et ${\displaystyle \sigma '}$.

Dans un éventail ${\displaystyle \Sigma }$, pour tous ${\displaystyle \tau \preccurlyeq \sigma }$, on a un plongement ouvert ${\displaystyle \phi _{\tau ,\sigma }:U_{\tau }\rightarrow U_{\sigma }}$. Ils vérifient de plus que pour tous ${\displaystyle \gamma \preccurlyeq \tau \preccurlyeq \sigma }$, ${\displaystyle \phi _{\gamma ,\sigma }=\phi _{\tau ,\sigma }\circ \phi _{\gamma ,\tau }}$. En recollant (en) les variétés toriques affines ${\displaystyle U_{\sigma }}$ le long des ouverts correspondants aux intersections des cônes, on obtient une variété torique normale et séparée ${\displaystyle X(\Sigma )}$^[3]. Le théorème de Sumihiro permet de montrer que toute variété torique normale et séparée s'obtient de cette façon.

• Pour N = ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ et les cônes ${\displaystyle \sigma =\mathbb {R} _{\geq 0}}$ et ${\displaystyle \sigma '=\mathbb {R} _{\leq 0}}$ et ${\displaystyle \Sigma }$ l'éventail ${\displaystyle \{\sigma ,\sigma ',\sigma \cap \sigma '\}}$, alors ${\displaystyle X(\Sigma )=\mathbf {P} ^{1}}$.

L'article doit être débarrassé d'une partie de son jargon (novembre 2014).

Sa qualité peut être largement améliorée en utilisant un vocabulaire plus directement compréhensible.

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Une variété torique est une variété symplectique de dimension 2n, qui est dite torique si elle est munie d'une action hamiltonienne effective d'un tore de dimension n.

Le théorème d'Atiyah-Guillemin-Sternberg affirme que l'image d'une variété torique par l'application moment associée à l'action hamiltonienne est l'enveloppe convexe d'un polytope (appelé polytope moment). On utilise cette propriété comme définition d'une variété torique pour les variétés qui ne sont pas munies d'une structure symplectique.