Polynôme d'Abel

Fonction génératrice

La fonction génératrice des polynômes d'Abel est :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {A_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\exp \left({\frac {t}{a}}W(at)\right)}$

où W désigne la fonction W de Lambert.

Identité binomiale

Les polynômes d'Abel vérifient l'identité suivante :

${\displaystyle A_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{k}(x)A_{n-k}(y)}$

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Les polynômes d'Abel sont fondamentaux dans le calcul ombral, dans la mesure où on peut montrer que tous les polynômes de type binomial peuvent être exprimés à partir des polynômes d'Abel^[1].