Polynôme de Jensen

On considère une suite réelle positive (γ_n) vérifiant des inégalités de Turán :

${\displaystyle \forall n\geqslant 1,\ \gamma _{n}^{2}-\gamma _{n-1}\gamma _{n+1}\geqslant 0}$

et on définit la fonction entière :

${\displaystyle f(x):=\sum _{n=0}^{+\infty }\gamma _{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Alors les polynômes de Jensen associés à la fonction f sont la suite de polynômes définis par :

${\displaystyle g_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\gamma _{k}x^{k}}$

George Pólya a établi que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'hyperbolicité de tous les polynômes de Jensen associés aux coefficients de Taylor de la fonction

${\displaystyle (-1+4z^{2})\Lambda \left({\frac {1}{2}}+z\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\gamma _{n}z^{2n}}{n!}}}$

avec ${\textstyle \Lambda (z)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\zeta (z)={\frac {2}{z(z-1)}}\xi (z)}$, avec ξ la fonction xi de Riemann, et où un polynôme à coefficients réels est dit hyperbolique si tous ses zéros sont réels^[1],[2].

• inégalités de Turán
• fonction de type Laguerre-Pólya (en)