Polynôme de Narayana

Quelques-unes des propriétés des polynômes de Narayana et des polynômes de Narayana associés sont rassemblées ci-dessous. On trouve de plus amples informations sur les propriétés de ces polynômes dans les références citées.

Les polynômes de Narayana peuvent être exprimés de la façon suivante^[4] :

${\displaystyle N_{n}(z)=\sum _{0}^{n}{\frac {1}{n+1}}{n+1 \choose k}{2n-k \choose n}(z-1)^{k}}$.

• ${\displaystyle N_{n}(1)}$ est le ${\displaystyle n}$-ième nombre de catalan ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}}$. Les premiers nombres de Catalan sont ${\displaystyle 1,1,2,5,14,42,132,429,\ldots }$ – ils forme la suite A000108 de l'OEIS^[5] ;
• ${\displaystyle N_{n}(2)}$ est le ${\displaystyle n}$-ième grand nombre de Schröder. C'est le nombre d'arbres planaires ayant ${\displaystyle n}$ arêtes et dont les feuilles sont colorées par une ou deux couleurs. Les premiers nombres de Schröder sont ${\displaystyle 1,2,6,22,90,394,1806,8558,\ldots }$ – suite A006318 de l'OEIS^[5] ;
• pour les entiers ${\displaystyle n\geq 0}$, soit ${\displaystyle d_{n}}$ le nombre de chemins sous-diagonaux de ${\displaystyle (0,0)}$ à ${\displaystyle (n,n)}$ dans une grille ${\displaystyle n\times n}$ et formés de pas appartenant à ${\displaystyle S=\{(k,0):k\in \mathbb {N} ^{+}\}\cup \{(0,k):k\in \mathbb {N} ^{+}\}}$. Alors ${\displaystyle d_{n}={\mathcal {N}}(4)}$^[6].

• Pour ${\displaystyle n\geq 3}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(z)}$ satisfait à la relation de récurrence non linéaire suivante^[1] :

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(z)=(1+z){\mathcal {N}}_{n-1}(z)+z\sum _{k=1}^{n-2}{\mathcal {N}}_{k}(z){\mathcal {N}}_{n-k-1}(z)}$.

• Pour ${\displaystyle n\geq 3}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(z)}$ satisfait à la relation de récurrence linéaire du second ordre suivante^[6] :

${\displaystyle (n+1){\mathcal {N}}_{n}(z)=(2n-1)(1+z){\mathcal {N}}_{n-1}(z)-(n-2)(z-1)^{2}{\mathcal {N}}_{n-2}(z)}$ avec ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}(z)=1}$ et ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}(z)=1+z}$.

La série génératrice ordinaire des polynômes Narayana est donnée par

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }N_{n}(z)t^{n}={\frac {1+t-tz-{\sqrt {1-2(1+z)t+(1-z)^{2}t^{2}}}}{2t}}.}$

Le ${\displaystyle n}$-ième polynôme de Legendre ${\displaystyle P_{n}(x)}$ est donné par

${\displaystyle P_{n}(x)=2^{-n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{n-k \choose k}{2n-2k \choose n-k}x^{n-2k}}$.

Alors, pour n > 0, le polynôme de Narayana ${\displaystyle N_{n}(z)}$ peut être exprimé sous la forme suivante :

${\displaystyle N_{n}(z)=(z-1)^{n+1}\int _{0}^{\frac {z}{z-1}}P_{n}(2x-1)\,dx}$.

• Nombre de Catalan
• Nombre de Schröder

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Narayana polynomials » (voir la liste des auteurs).

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