En mathématiques, un polynôme à valeurs entièresP(t) est un polynôme qui prend une valeur entièreP(n) pour chaque entier n. Tout polynôme à coefficients entiers est à valeurs entières mais la réciproque est fausse: par exemple le polynôme t(t + 1)/2, qui donne les nombres triangulaires, renvoie des valeurs entières lorsque t = n est un entier. C'est parce que l'un des deux nombres n ou n + 1 est nécessairement pair.
En fait, les polynômes à valeurs entières peuvent être décrits complètement. On démontre en effet, par la méthode des différences finies, que tout polynôme à valeurs entières est (de façon évidemment unique) combinaison linéaire à coefficients entiers des polynômes
Bien que ce sous-anneau soit de construction simple (avec sa ℤ-base formée par les polynômes Pk), il possède des propriétés assez atypiques (ce qui le rend bon candidat pour être source d'exemples et de contre-exemples):
anneau non noethérien (lorsque k est un nombre premier, le polynôme Pk n'appartient pas à l'idéal engendré par les polynômes d'indices inférieurs P1, … ,Pk – 1);
tout élément de la forme Pk(t) + R(t) avec deg(R(t)) < k est un élément irréductible (k ≥ 1);
en particulier, Pk(t) est un élément irréductible non premier (k ≥ 1);
anneau intègre de Prüfer (tout idéal de type fini est localement principal);
anneau dénombrable, mais dont le spectre maximal est non dénombrable;
ses idéaux de type fini non nuls sont inversibles et engendrés par au plus deux éléments.
Diviseurs fixes
Nous appellerons «diviseur fixe» de P tout entier d qui divise tous les P(k) quand k parcourt les entiers. Il suffit pour cela que d divise les P(k) quand k parcourt {0, 1, … , deg(P)}, puisque ces nombres ont même PGCD que les coordonnées de P dans la ℤ-base canonique ci-dessus.
Par exemple, les polynômes P à coefficients entiers qui ne prennent que des valeurs paires sont juste ceux tels que P/2 est à valeurs entières. Ceux-ci sont à leur tour ceux exprimés comme combinaisons linéaires de polynômes de base, avec des coefficients pairs.
Un autre exemple est le polynôme t(t2 + 2): il ne prend, sur les entiers, que des valeurs multiples de 3, puisqu'il s'écrit aussi t(t + 1)(t – 1) + 3t, ou encore: 3(P1 + 2P2 + 2P3).
