Polynômes de Mott

En mathématiques, les polynômes de Mott s_n(x) sont des polynômes introduits par Nevill Mott qui les a appliqués à un problème de théorie des électrons. Ils sont définis par la série génératrice exponentielle

${\displaystyle \exp \left(x{\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }s_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

D'après la formule générale des polynômes d'Appell généralisés, puisque le facteur dans l'exponentielle a le développement en série entière

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

en termes de nombres de Catalan ${\displaystyle C_{k}}$, le coefficient de ${\displaystyle x^{k}}$ dans le polynôme peut s’écrire

${\displaystyle [x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!}{k!2^{n}}}\sum _{n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}C_{(l_{1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/2}\cdots C_{(l_{k}-1)/2}}$,

où la somme s'étend sur toutes les compositions ${\displaystyle n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}$ de ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle k}$ entiers impairs positifs. Le produit vide apparaissant pour ${\displaystyle k=n=0}$ est égal à 1. Les valeurs spéciales, où tous les nombres de Catalan de la somme sont égaux à 1, sont

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}}$ ;

${\displaystyle [x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}}$.

Par différenciation, la récurrence pour la dérivée première devient

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

Les premiers de ces polynômes sont donnés par la suite A137378 de l'OEIS

${\displaystyle s_{0}(x)=1}$ ;

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x}$ ;

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2}}$ ;

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3}}$ ;

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4}}$ ;

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5}}$ ;

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6}}$.

Les polynômes s_n(x) forment la suite de Sheffer associée à –2t/(1–t²) (Roman 1984, p.130). Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus et Fritz Oberhettinger en donnent une expression explicite en termes de fonction hypergéométrique généralisée ₃F₀ :

${\displaystyle s_{n}(x)=\left(-{\frac {x}{2}}\right)^{n}\,{}_{3}F_{0}\left(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}\right)}$.