Potentiel effectif

La loi de conservation de l'énergie mécanique implique qu'en l'absence de forces dissipatives, l'énergie mécanique ${\displaystyle E_{m}}$ reste constante.

L'objectif est d'exprimer cette énergie mécanique sous la forme : ${\displaystyle E_{m}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{eff}(r)}$^[1]

La conservation du moment cinétique implique que ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }}=L_{0}}$.

En coordonnées polaires, la vitesse s'écrit ${\displaystyle v^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$ ; il vient alors :

${\displaystyle E_{m}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+\left[{\frac {L_{0}^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right]}$

On aboutit ainsi à une équation reliant l'énergie cinétique radiale à un potentiel uniquement radial, le potentiel effectif :

${\displaystyle U_{\text{eff}}={\frac {L_{0}^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {k}{r}}}$ avec ${\displaystyle k=-GMm<0}$

somme d'un terme gravitationnel en ${\displaystyle -{\frac {1}{r}}}$ et d'un terme rotationnel en ${\displaystyle +{\frac {1}{r^{2}}}}$.

On peut alors étudier le mouvement radial à l'aide d'une courbe : pour une énergie ${\displaystyle E_{m}}$ donnée, le domaine de ${\displaystyle r}$ possible est délimité par la courbe :

• pour ${\displaystyle E<0}$, on trouve deux valeurs limites, l'une inférieure et l'autre supérieure : il s'agit du péricentre et de l'apocentre d'une ellipse ;
• pour ${\displaystyle E=0}$, la valeur supérieure est renvoyée à l'infini : la trajectoire est celle d'une parabole ;
• pour ${\displaystyle E>0}$, il n'y a pas de limite supérieure : la trajectoire est donc une hyperbole.

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