Pression diamétrale

Nous pouvons démontrer ceci de deux manières.

La première manière consiste à considérer un demi-cylindre plongé dans un fluide exerçant une pression hydrostatique uniforme. L'équilibre impose que la résultante de la pression sur la partie plate est égale en intensité à la résultante de la pression sur la partie cylindrique. La partie plate étant un rectangle de dimensions D × L, nous en déduisons que

F = P × (D × L)

c.q.f.d.

La deuxième manière consiste à intégrer les forces de pression. Considérons un élément de la surface cylindrique infinitésimal, parallèle à une génératrice, de longueur L et délimité par les angles θ et θ + dθ. Cet élément de surface est assimilable à un rectangle de dimensions L × (dθ × D/2). La force qui s'exerce sur cet élément a pour intensité

dF = P × dS = ½ × P × D × L × dθ

Le problème est symétrique selon le plan (y, z), donc la composante en x de cette force est annulée par la force exercée par l'élément de surface symétrique. La composante en y de cette force vaut :

dF_y = cos(θ)dF = ½ × cos(θ) × P × D × L × dθ.

La résultante vaut

${\displaystyle \mathrm {F} _{y}=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\times \mathrm {P} \times \mathrm {D} \times \mathrm {L} \times \cos(\theta )\times \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}\times \mathrm {P} \times \mathrm {D} \times \mathrm {L} \times \left[\sin(\theta )\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}=\mathrm {P} \times \mathrm {D} \times \mathrm {L} }$

c.q.f.d.

Notons que ce calcul est similaire à celui utilisé pour déterminer la contrainte dans un réservoir cylindrique à parois minces sous pression.

Relation entre pression, jeu et angle de contact

On appelle 1 le cylindre contenant (femelle, concave) 2 le cylindre contenu (mâle, convexe) ; le cylindre i a pour centre O_i et pour rayon R_i.

Nous partons d'une situation initiale idéale dans laquelle les deux cylindres sont concentriques. Le jeu, ramené au rayon, vaut :

j = R₁ - R₂.

Sous l'action de l'effort presseur, le jeu se comble, puis les surfaces se déforment. Nous supposons que le cylindre 2 ne se déforme pas, et que le cylindre 1 se déforme de manière élastique. La surface 2 s'enfonce d'une profondeur δ_max ; le cylindre 2 est donc descendu de la quantité e (excentration) :

e = O₁O₂ = j + δ_max.

Nous nous plaçons dans le repère au centre du cylindre contenant (O₁, x, y). Soit un point M de la surface de contact ; on appelle θ l'angle (-y, O₁M). Le déplacement de la surface δ est défini par :

δ(θ) = O₁M - R₁.

avec donc δ(0) = δ_max. Les coordonnées de M sont donc :

M((R₁ + δ(θ)⋅sin θ) ; -(R₁ + δ(θ))⋅cos θ)

et les coordonnées de O₂ sont :

O₂(0 ; -e).

Plaçons-nous dans le repère (O₁, u, v), l'axe u étant aligné avec (O₁M). Dans ce repère, les coordonnées sont :

M(R₁ + δ(θ) ; 0)

O₂(e⋅cos θ ; -e⋅sin θ)

D'après la relation de Chasles, on a

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {O} _{1}\mathrm {M} }}={\overrightarrow {\mathrm {O} _{1}\mathrm {O} _{2}}}+{\overrightarrow {\mathrm {O} _{2}\mathrm {M} }}}$

soit

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}+\delta (\theta )&=&e\cdot \cos \theta +\mathrm {R} _{2}\cos \varphi \\0&=&-e\cdot \sin \theta +\mathrm {R} _{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.}$

soit, en considérant l'expression de e ainsi que R₁ = j + R₂ :

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}j+\mathrm {R} _{2}+\delta (\theta )&=&(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +\mathrm {R} _{2}\cos \varphi \\0&=&-(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta +\mathrm {R} _{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.}$

Nous sommes dans le domaine des petites déformations, puisque nous sommes dans le domaine élastique. Nous avons donc δ_max ≪ R₁ et donc |φ| ≪ 1, soit

cos φ ≃ 1

sin φ ≃ 1 (en radians)

donc

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +\mathrm {R} _{2}-(j+\mathrm {R} _{2}+\delta (\theta ))&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -\mathrm {R} _{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.}$

et ainsi

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -\mathrm {R} _{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.}$

À θ = θ₀, on a δ(0) = 0 et la première équation donne

${\displaystyle (j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta _{0}-j=0\Rightarrow \delta _{\max }={\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\Leftrightarrow \cos \theta _{0}={\frac {j}{j+\delta _{\max }}}}$

et donc

${\displaystyle \left(j+{\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\right)\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow \delta (\theta )=j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)}$ [1].

En appliquant la loi d'élasticité pour un métal (α = 1), on a

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathrm {P} (\theta )&=&\mathrm {K} \cdot j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)\\\mathrm {P} _{\max }&=&\mathrm {K} \cdot j\cdot {\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\end{aligned}}\right.}$ [2]

On notera que la pression est une fonction affine en cos θ :

P(θ) = A⋅cos θ - B

avec A = K⋅j/cos θ₀ et B = A⋅cos θ₀.

Cas où le jeu est négligeable

Si le jeu est négligeable, j ≃ 0 (R₁ ≃ R₂), alors le contact se fait sur tout le demi-périmètre : 2θ₀ ≃ π soit cos θ₀ ≃ 0. La valeur de 1/cos θ₀ devient très grande (elle tend vers l'infini), donc

${\displaystyle \delta (\theta )\simeq j{\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}}$

Notons que j et cos θ₀ tendent tous les deux vers 0, donc j/cos θ₀ est une forme indéterminée lorsque j tend vers 0. En toute rigueur, le cas j = 0, θ₀ = π/2 est indéfini, et d'ailleurs, mécaniquement, il n'a pas de sens (ajustement incertain). On s'intéresse de fait à une fonction limite

${\displaystyle \mathrm {P} _{\pi /2}(\theta )=\lim _{\theta _{0}\to \pi /2}\mathrm {P} _{\theta _{0}}(\theta )}$.

On a donc une répartition sinusoïdale de la déformation et donc de la pression :

${\displaystyle \mathrm {P} (\theta )=\mathrm {K} \cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}\cdot \cos \theta }$

soit

P(θ) = P_max⋅cos θ

avec

${\displaystyle \mathrm {P} _{\max }=\mathrm {K} \cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}}$.

Considérons un élément de surface dS délimité par θ et θ + dθ. Comme dans le cas de la pression uniforme, nous avons

dF_y(θ) = cos(θ)dF = ½ × cos(θ) × P(θ) × D × L × dθ = ½ × cos²(θ) × P_max × D × L × dθ.

En intégrant entre -π/2 et π/2, on obtient :

${\displaystyle \mathrm {F} =\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\mathrm {d} \mathrm {F} _{y}(\theta )\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}\mathrm {P} _{\max }\mathrm {D} \mathrm {L} \int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$

On sait que (par exemple en utilisant la formule d'Euler) :

${\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{4}}\left[2\theta +\sin 2\theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {1}{2}}\left[\theta +\sin \theta \cos \theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}}$

d'où

${\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {\pi }{4}}\mathrm {P} _{\max }\mathrm {D} \mathrm {L} }$

d'où

${\displaystyle \mathrm {P} _{\max }={\frac {4}{\pi }}{\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {D} \mathrm {L} }}}$

c.q.f.d.

Cas où le jeu n'est pas négligeable

La force sur une surface élémentaire est définie par :

dF(θ) = P(θ)dS = Kδ(θ)dS = ½ × K × j × cos θ/cos θ₀ - 1) × dS

${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {F} _{y}={\frac {\mathrm {K} j}{2}}\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)\mathrm {D} \mathrm {L} \cos \theta \mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos \theta _{0}}}-\cos \theta \right)\mathrm {d} \theta ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\left[{\frac {\theta +\sin \theta \cos \theta }{2\cos \theta _{0}}}-\sin \theta \right]_{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}}$

d'où

${\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\left({\frac {2\theta _{0}+2\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{2\cos \theta _{0}}}-2\sin \theta _{0}\right)={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{2}}\left({\frac {\theta _{0}-\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\right)}$.

On reconnaît l'identité trigonométrique sin 2θ = 2 sin θ cos θ :

${\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {\mathrm {K} j\mathrm {D} \mathrm {L} }{4\cos \theta _{0}}}(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}$

d'où

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {4\mathrm {F} \cos \theta _{0}}{j\mathrm {D} \mathrm {L} (2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}}}$

et ainsi :

${\displaystyle \mathrm {P} _{\max }=\mathrm {K} j{\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}={\frac {4\mathrm {F} }{\mathrm {D} \mathrm {L} }}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}}$

c.q.f.d.