Primitives de fonctions logarithmes page de liste de Wikimédia From Wikipedia, the free encyclopedia Cet article donne les primitives de fonctions logarithmes. ∀ n ∈ Z ∖ { − 1 } , ∫ ( ln x ) n d x x = ( ln x ) n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} \setminus \{-1\},\quad \int (\ln x)^{n}~{\frac {\mathrm {d} x}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}+C} ∀ m ∈ Z ∖ { − 1 } , ∀ n ∈ N , ∫ ( ln x ) n x m d x = x m + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k n ! ( m + 1 ) n − k + 1 k ! ( ln x ) k + C {\displaystyle \forall m\in \mathbb {Z} \setminus \{-1\},\forall n\in \mathbb {N} ,\quad \int (\ln x)^{n}x^{m}~\mathrm {d} x=x^{m+1}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}n!}{(m+1)^{n-k+1}k!}}(\ln x)^{k}+C} ∀ m ∈ Z , {\displaystyle \forall m\in \mathbb {Z} ,} ∀ n ∈ { 2 , 3 , … } , ∫ x m ( ln x ) n d x = − x m + 1 ∑ k = 1 n − 1 ( k − 1 ) ! ( m + 1 ) n − 1 − k ( n − 1 ) ! ( ln x ) k + ( m + 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ∫ x m ln x d x + C {\displaystyle \forall n\in \{2,3,\ldots \},\quad \int {\frac {x^{m}}{(\ln x)^{n}}}~\mathrm {d} x=-x^{m+1}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {(k-1)!(m+1)^{n-1-k}}{(n-1)!(\ln x)^{k}}}+{\frac {(m+1)^{n-1}}{(n-1)!}}\int {\frac {x^{m}}{\ln x}}~\mathrm {d} x+C} et ∫ x m ln x d x = ln | ln x | + ∑ n = 1 + ∞ ( m + 1 ) n ( ln x ) n n ! ⋅ n + C {\displaystyle {\text{et}}\quad \int {\frac {x^{m}}{\ln \,x}}~\mathrm {d} x=\ln |\ln \,x|+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(m+1)^{n}(\ln \,x)^{n}}{n!\cdot n}}+C} ∀ a ≠ 0 , ∫ e a x ln x d x = 1 a e a x ln | x | − 1 a ∫ e a x x d x {\displaystyle \forall a\neq 0,\quad \int \mathrm {e} ^{ax}\ln x~\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\mathrm {e} ^{ax}\ln |x|-{\frac {1}{a}}\int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x}}~\mathrm {d} x} Article principal : Primitive. Cet article est une ébauche concernant l’analyse. Références (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne) Portail de l'analyse Related Articles