Principe variationnel d'Ekeland
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Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar Ekeland[1],[2],[3], qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation.
Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet.
Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi[4]. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).
Soient :
- (X, d) un espace métrique complet,
- f : X → [0, +∞] une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞,
- ε un réel strictement positif et
- x un point de X tel que f(x) ≤ ε + inf(f(X)).
Alors, pour tout δ > 0, il existe un point y de X tel que :
Variantes
L'énoncé usuel ci-dessus équivaut à son cas particulier ε = δ = 1 (en remplaçant f par f/ε et d par d/δ), ainsi qu'aux quatre variantes suivantes. Il est commode, pour formuler et démontrer tous ces théorèmes, d'associer à f le préordre[5] ≼ défini par : u ≼ v ⇔ f(u) + d(u, v) ≤ f(v).
Soient (X, d) un espace métrique complet et f : X → [0, +∞] une application semi-continue inférieurement et non constamment égale à +∞.
- Tout point de X possède un ≼-minorant ≼-minimal[6],[7],[8].
- Tout point de X dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)) possède un ≼-minorant ≼-minimal[9].
- « Forme faible[10] » — Il existe dans X un élément ≼-minimal dont l'image par f est inférieure ou égale à 1 + inf(f(X)).
- Il existe dans X un élément ≼-minimal.
