Probabilité a posteriori

La loi a priori ${\displaystyle p(\theta )}$ qu'un évènement ${\displaystyle X}$ ait lieu avec vraisemblance est ${\displaystyle p(X|\theta )}$. La probabilité a posteriori se définit comme :

${\displaystyle p(\theta |X)={\frac {p(X|\theta )p(\theta )}{p(X)}}.}$^[1]

La probabilité a posteriori peut s'écrire : ${\displaystyle {\text{Probabilité a posteriori}}\propto {\text{Vraisemblance}}\times {\text{Probabilité a priori}}.}$^[2]

La distribution d'une probabilité a posteriori d'une variable aléatoire étant donné la valeur d'une autre peut être calculée avec le théorème de Bayes en multipliant la distribution de la probabilité a priori par la fonction de vraisemblance, et ensuite divisé par la constante de normalisation, tel que :

${\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)={f_{X}(x){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(x) \over {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(u)\,du}}}$

ce qui donne la fonction de densité a posteriori d'une variable aléatoire ${\displaystyle X}$ étant donné que ${\displaystyle Y=y}$ et où :

• ${\displaystyle f_{X}(x)}$ est la densité antérieure de ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(x)=f_{Y\mid X=x}(y)}$ est la fonction de vraisemblance de ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(u)\,du}$ est la constante de normalisation, et
• ${\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)}$ la densité postérieure de ${\displaystyle X}$ sachant ${\displaystyle Y=y}$.