Problème des quatre cubes

Le problème des quatre cubes^[1] consiste à demander si tout entier relatif est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs.

En faisant X = T, Y = T, Z = - T + 1 dans l'identité

${\displaystyle \qquad (X+Y+Z)^{3}-X^{3}-Y^{3}-Z^{3}=3(X+Y)(X+Z)(Y+Z),}$

on obtient l'identité

${\displaystyle \qquad (T+1)^{3}+(-T)^{3}+(-T)^{3}+(T-1)^{3}=6T,}$

qui montre que dans tout anneau, tout multiple de 6 (si on entend par là un élément de cet anneau de la forme 6a, a étant lui-même un élément de l'anneau) est somme de quatre cubes.

Puisque tout entier relatif est congru dans ℤ à son propre cube modulo 6, il en résulte que tout entier relatif est la somme de cinq cubes d'entiers relatifs.

Selon une conjecture encore ouverte^[2], tout entier relatif serait la somme de quatre cubes d'entiers relatifs.

En 1966, V. A. Demjanenko a prouvé que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à - 4 modulo 9 est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs. Pour cela, il a notamment utilisé les identités suivantes :

${\displaystyle \qquad 6x=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^{3}-x^{3},}$

${\displaystyle \qquad 6x+3=x^{3}+(-x+4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3},}$

${\displaystyle \qquad 18x+1=(2x+14)^{3}+(-2x-23)^{3}+(-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3},}$

${\displaystyle \qquad 18x+7=(x+2)^{3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3},}$

${\displaystyle \qquad 18x+8=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}.}$

Ces identités (et celles qu'on en tire par passage aux opposés) montrent immédiatement que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à -4 modulo 9 et n'est congru ni à 2 ni à -2 modulo 18 est somme de quatre cubes d'entiers relatifs. À l'aide de raisonnements plus subtils, Demjanenko a prouvé que les entiers relatifs congrus à 2 ou à - 2 modulo 18 sont eux aussi sommes de quatre cubes d'entiers relatifs^[3].

Le problème ne se pose donc plus que pour les entiers relatifs congrus à 4 ou à -4 modulo 9. On a par exemple

${\displaystyle \qquad 13=10^{3}+7^{3}+1^{3}+(-11)^{3}.}$