Problème du cercle de Gauss

Considérons un cercle de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ de centre l'origine et de rayon ${\displaystyle r}$. Le problème du cercle de Gauss consiste à déterminer le nombre de points ${\displaystyle (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ situés sur ou à l'intérieur de ce cercle. L'équation de ce cercle étant donnée en coordonnées cartésiennes par ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$, le problème revient à demander combien de paires de nombres entiers (relatifs) ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ vérifient :

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.}$

La liste suivante donne les premières valeurs du nombre ${\displaystyle N(r)}$ de solutions pour ${\displaystyle r}$ entier compris entre 0 et 12. Elle est suivie de la liste des valeurs de ${\displaystyle \pi r^{2}}$ arrondies au nombre entier le plus proche notées ${\displaystyle \lfloor \pi r^{2}\rceil }$ :

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (suite A000328 de l'OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (suite A075726 de l'OEIS)

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Par définition, ${\displaystyle N(r)=\sum _{k=0}^{\lfloor r^{2}\rfloor }r_{2}(k)}$ où ${\displaystyle r_{2}(k)}$ est le nombre de couples d'entiers relatifs ${\displaystyle (m,n)}$ tels que ${\displaystyle m^{2}+n^{2}=k}$ , voir à Théorème des deux carrés de Fermat#Le cas général.

Une expression de ${\displaystyle N(r)}$ sous forme de somme finie, faisant intervenir la fonction partie entière, est :

${\displaystyle N(r)=1+4\lfloor r\rfloor +4\sum _{k=1}^{\lfloor r\rfloor }\lfloor {\sqrt {r^{2}-k^{2}}}\rfloor }$^[2].

La valeur de ${\displaystyle N(r)}$ peut aussi être exprimée comme somme infinie. Par exemple ${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

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On peut montrer que ${\displaystyle |N(r)-\pi r^{2}|\leqslant \pi (r+{\sqrt {2}})^{2}-\pi (r-{\sqrt {2}})^{2}=4{\sqrt {2}}\pi r}$ ^[3], ce qui prouve que ${\displaystyle N(r)\sim \pi r^{2}}$ et même que ${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+O(r)}$.

Le "problème du cercle de Gauss" consiste aujourd'hui à évaluer plus finement ${\displaystyle E(r)=N(r)-\pi r^{2}}$ ^[4] ; il a été démontré en 1920 que ${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$^[4] et on conjecture que ${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2+\varepsilon })}$ pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$^[1],[4] (il a été démontré que ${\displaystyle O(r^{1/2})}$ est faux^[4]).

On en déduit que ${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+o(r)}$ et que donc ${\displaystyle N(r)-N(r-1)=2\pi r+o(r)\sim 2\pi r}$.

Liste des premières valeurs de ${\displaystyle N(r)-N(r-1)}$ pour ${\displaystyle r}$ entier ${\displaystyle \geqslant 1}$ : 4, 8, 16, 20, 32, 32, 36, 48, 56, 64 (suite A036693 de l'OEIS)

Liste des premières valeurs de ${\displaystyle \lfloor 2\pi r\rceil }$ pour ${\displaystyle r}$ entier ${\displaystyle \geqslant 1}$ :                 6, 13, 19, 25, 31, 38, 44, 50, 57, 63 (suite A075727 de l'OEIS)

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Il consiste à calculer le nombre de couples ${\displaystyle (m,n)}$ formés de nombres premiers entre eux vérifiant

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.}$

Ce problème est connu comme le problème du cercle primitif, car il implique la recherche de solutions primitives au problème du cercle initial^[5]. Si le nombre de ces solutions est noté ${\displaystyle V(r)}$, alors les valeurs de V(r) pour r sont :

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 ... (suite A175341 de l'OEIS).

En liant le problème du cercle de Gauss et le fait que la "probabilité" que deux entiers soient premiers entre eux est 6/π ², il est relativement simple de démontrer que,

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}$

Comme le problème du cercle, la partie problématique du problème du cercle primitif réduit l'exposant dans le terme d'erreur. À l'heure actuelle l'exposant le plus connu est 221/304  + ԑ si l'on suppose l'hypothèse de Riemann^[5]. Sans supposer l'hypothèse de Riemann, la plus connue est :

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}$

pour une constante positive c^[5]. En particulier, aucune hypothèse n’existe sur le terme d'erreur de la forme 1 -  ε pour tout ε > 0 qui est actuellement connu et ne supposant pas l'hypothèse de Riemann.

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On peut définir des notions apparentées en dénombrant non les nœuds du quadrillage, mais les carrés unité ; ${\displaystyle D(r)}$ désigne le disque fermé de rayon ${\displaystyle r}$ centré en l'origine.

Bien que le problème initial demande le nombre de points entiers du réseau situés dans un cercle, il n'y a aucune raison de ne pas envisager d'autres formes ; ainsi le problème des diviseurs de Dirichlet est le problème équivalent où le cercle est remplacé par l'hyperbole équilatère^[1]. De même, on pourrait prolonger la question de deux dimensions à des dimensions supérieures, et demander le nombre de points entiers à l'intérieur d'une sphère ou d'un quelconque autre objet.