Problèmes de Cousin

On suppose que chaque quotient ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ est une fonction holomorphe ne s'annulant pas sur l'intersection de U_i et U_j. Existe-t-il une fonction méromorphe f sur M telle que chaque quotient ${\displaystyle f/f_{i}}$ soit holomorphe et ne s'annule pas ? Le deuxième problème de Cousin est une généralisation multidimensionnelle du théorème de Weierstrass sur l'existence de fonctions holomorphes d'une variable complexe avec zéros prescrits.

L'attaque de ce problème au moyen du logarithme, pour le réduire au problème additif, se heurte à un obstacle sous la forme de la première classe de Chern. En termes de théorie des faisceaux, on considère ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ le faisceau des fonctions holomorphes qui ne s'annulent pas, et ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ le faisceau de fonctions méromorphes qui ne sont pas identiquement nulles. Ce sont alors tous deux des faisceaux en groupes abéliens, et le faisceau quotient ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ est bien défini. Le problème multiplicatif de Cousin cherche alors à identifier l'image de l'application quotient ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})}$.

La suite exacte longue de cohomologie associée est

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

donc le deuxième problème de Cousin peut être résolu à condition que ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$ Le faisceau quotient ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ est le faisceau de germes des diviseurs de Cartier sur M. La question de savoir si chaque section globale est générée par une fonction méromorphe équivaut donc à déterminer si chaque fibré de droites sur M est trivial.

Le groupe de cohomologie ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$ pour la structure multiplicative sur ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ peut être comparé au groupe de cohomologie ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$ avec sa structure additive en prenant un logarithme. Autrement dit, il existe une séquence exacte de faisceaux

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0}$

où le faisceau de gauche est localement constant de fibre ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$. L'obstacle à la définition d'un logarithme au niveau de H ¹ réside dans ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$, à partir de la suite exacte longue

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} )}$.

Lorsque M est une variété de Stein, la flèche du milieu est un isomorphisme car ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ pour ${\displaystyle q>0}$ de sorte qu'une condition nécessaire et suffisante dans ce cas pour que le deuxième problème de Cousin soit toujours soluble est que ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0}$.

• Théorèmes de Cartan A et B

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cousin problems » (voir la liste des auteurs).

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