Classe de Chern

Distinguer deux fibrés vectoriels sur une variété lisse est en général un problème difficile. La théorie des classes de Chern permet d'associer à chaque fibré un invariant topologique, sa classe, de sorte que si les classes diffèrent, alors les fibrés diffèrent. Ces classes conservent un certain nombre d'informations sur les fibrés qu'elles représentent, mais restent calculables en pratique.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Soit n ≥ 1, U(n) le groupe unitaire et BU(n) son espace classifiant. Les classes de Chern de l'espace classifiant du groupe unitaire sont les éléments

${\displaystyle c_{i}\in H^{2i}(BU(n),\mathbb {Z} )}$

qui vérifient :

• ${\displaystyle c_{0}=1}$ et ${\displaystyle c_{i}=0}$ pour tout i > n ;
• pour n = 1, ${\displaystyle c_{1}}$ engendre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ;
• pour l'inclusion ${\displaystyle i:BU(n)\to BU(n+1)}$, on a pour tout produit fibré ${\displaystyle i^{*}c_{i}^{(n+1)}=c_{i}^{(n)}}$ ;
• pour l'inclusion ${\displaystyle BU(k)\times BU(l)\hookrightarrow BU(k+l)}$, on a ${\displaystyle i^{*}c_{i}=\sum _{j=0}^{i}c_{i}\cup c_{j-i}}$.

En particulier, l'anneau de cohomologie de BU(n) est l'algèbre de polynômes sur les classes de Chern :

${\displaystyle H^{\bullet }(BU(n),\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} (c_{1},\ldots ,c_{n}).}$

Les classes de Chern peuvent être définies de manière axiomatique. Si ${\displaystyle V}$ est un fibré vectoriel sur un espace topologique ${\displaystyle X}$, les classes de Chern de ${\displaystyle V}$ sont les éléments

${\displaystyle c_{i}(V)\in H^{2i}(X,\mathbb {Z} )}$

qui vérifient les propriétés suivantes :

• fonctorialité : si ${\displaystyle f:Y\to X}$ est continue et ${\displaystyle f^{*}V}$ est le fibré vectoriel correspondant au produit fibré de ${\displaystyle V}$, on a ${\displaystyle c_{k}(f^{*}V)=f^{*}c_{k}(V)}$ ;
• additivité : si ${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0}$ est une suite exacte courte de fibrés vectoriels, alors ${\displaystyle c(V)=c(V')\smile c(V'')}$, où ${\displaystyle \smile }$ désigne le cup-produit ;
• normalisation : si ${\displaystyle V}$ est un fibré en droites, ${\displaystyle c(V)=1+e(V_{\mathbf {R} })}$ avec ${\displaystyle e(V_{\mathbf {R} })}$ la classe d'Euler du fibré vectoriel réel sous-jacent à ${\displaystyle V}$.

La quantité ${\displaystyle c(V)=1+c_{1}(V)+\cdots +c_{n}(V)}$ est appelée classe de Chern totale de ${\displaystyle V}$.